Есть ли потенциал, связанный с магнетизмом?

Сила$q\vec v\times \vec B$действие на заряженную частицу явно не является консервативным, поскольку зависит от скорости. Консервативные силы — это силы, которые интегрируются в фиксированную работу — разность энергий, которая не зависит от пути — между двумя точками, поэтому они могут зависеть только от местоположения. Мы не можем связать потенциал с силой, зависящей от скорости.

С другой стороны, магнитная сила, действующая, например, на небольшой кусочек ферромагнетика, заслуживает специального обсуждения. Если магнит имеет магнитный момент$\vec m$, энергия этого магнита во внешнем магнитном поле просто

$$U = -\vec m\cdot \vec B.$$ Этот член энергии можно рассматривать как потенциальную энергию, зависящую от ориентации магнита. Эта сила пытается ориентироваться$\vec m$в том же направлении, что и внешний$\vec B$. Обратите внимание, что поле$\vec B$выше, может также зависеть от положения, поэтому магнит, который уже ориентирован для минимизации энергии, может быть перетащен в область, где магнитное поле становится сильнее.

В общем или нет$\vec B$градиент чего-то зависит от${\rm curl}\, \vec B$и это регулируется одним из уравнений Максвелла, а именно

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) .$$ Это называется законом замыкания Ампера (с поправкой Максвелла: последний член с производной по времени — также известный как ток смещения). Вы видите, что завиток не исчезает в присутствии токов и/или электрических полей, зависящих от времени. Однако в отсутствие токов и переменных во времени электрических полей ротор равен нулю, и вы можете написать$\vec B$как градиент потенциала в этих областях.

Однако это не означает немедленного консервативного характера любой магнитной силы, потому что измеренные нами магнитные силы не пропорциональны$\vec B$как векторы. Мы бы хотели иметь$\vec F = c\vec B$что было бы аналогично электрической силе, действующей на заряды, но такая форма силы применима только к магнитным монополям, которые могут существовать в природе, но только в виде чрезвычайно тяжелых элементарных частиц, которых мы еще не наблюдали.

Потому, что$\vec F$не$c\vec B$для любой известной силы вопрос о том,$\vec B$является градиентом чего-либо, не влияет на вопрос о том, является ли известная сила, связанная с магнетизмом, консервативной или нет. По этой причине даже не слишком полезно рассматривать потенциалы$\Phi_B$такой, что$\vec B = -\nabla \Phi_B$хотя в некоторых случаях и регионах мы могли найти такой потенциал (когда завиток исчезает).

Вместо этого полезно написать$\vec B = {\rm curl}\,\vec A$где$\vec A$называется векторным потенциалом. Пока нет магнитных монополей,$\vec B$всегда можно записать таким образом, потому что единственное препятствие, которое могло бы помешать нам переписать$\vec B$таким образом будет ненулевым${\rm div}\,\vec B$но это расхождение исчезает благодаря простому уравнению Максвелла.

Однако векторный потенциал$\vec A$не может быть «непосредственно» интерпретирована как потенциальная энергия единичного заряда и т. д. Вместо этого она появляется в лагранжиане и гамильтониане (с разными знаками) в комбинации$\vec j\cdot \vec A$где$\vec j$это электрический ток. В этом смысле векторный потенциал — это потенциальная энергия, приходящаяся на единицу тока (оба они — векторы).

Это немного формальное описание. Чтобы получить реальную энергию, нужно было бы интегрировать по всем путям токов. И это может быть сделано. Например, если у вас есть небольшая петля электрического тока, она ведет себя как магнит (электромагнит) и контурный интеграл$\oint \vec{d\ell}\cdot \vec A$из$\vec A$над этой петлей есть не что иное, как$\vec B\cdot \vec{dS}$– по закону Стокса – где$\vec{dS}$— это бесконечно малая площадь цикла с добавлением направления нормали, чтобы превратить его в вектор (здесь подразумевается правило правой руки). Таким образом, это говорит вам о том, что потенциальная энергия контура тока, то есть небольшого электромагнита, есть не что иное, как$-\vec m\cdot \vec B$потенциальная энергия, о которой я упоминал в начале.