В чем разница между средней скоростью и мгновенной скоростью?

Ваш вопрос является законным, и я не понимаю, почему за него проголосовали. Путаница возникает в разнице между средней и мгновенной скоростью.

Рассмотрим такой пример: автомобиль движется со скоростью 10 м/с в течение 5 секунд, затем останавливается на светофоре еще на пять секунд. Какова скорость автомобиля через 7 секунд? По вашим расчетам будет$\frac{5 \,\textrm{s}\cdot10\,\textrm{m/s}}{7 \, \textrm{s}}\approx 7.14$м/с, что явно неверно, так как автомобиль полностью останавливается через 7 секунд. Вы только что вычислили среднюю скорость автомобиля за эти 7 секунд.

Запрос скорости тела в данный момент времени эквивалентен вопросу «насколько положение изменится через бесконечно малый промежуток времени?», Что, в нестрогих терминах, похоже на взятие бесконечно малого пространства.$dx$и разделив его на бесконечно малое количество времени$dt$(это не то, как на самом деле математически определяются производные, но это работает на интуитивном уровне). Средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени становится мгновенной скоростью и вычисляется с использованием производной.

в нашем предыдущем примере мы получили бы$0$, потому что в 7 секунд, а также непосредственно перед и сразу после 7 секунд автомобиль находится в состоянии покоя.

Одна вещь, которую вы должны заметить в своем методе, заключается в том, что вы получаете разные результаты в зависимости от того, какой временной диапазон вы усредняете. Вы усредняете время от t = 0 до t = 10, но что такого особенного в t = 0?

Если вы сделаете то же самое, но начнете с t = 5, вы получите:

$$v = \frac{490 \times 10 \times 10 - 490 \times 5 \times 5}{10 - 5} = 7350$$

Поскольку цель состоит в том, чтобы определить мгновенную скорость в определенный момент времени, тот факт, что результат зависит от какого-то другого момента времени, который вы включаете в уравнение, должен быть убедительным признаком того, что ваш результат касается не только желаемого времени, но и диапазона. времени в целом.

Когда вы вычисляете производную, вы вычисляете предел результата этого, поскольку размер этого временного диапазона становится все меньше и меньше, что приближается к бесконечно малому периоду, который мы называем «мгновенным».

Другой способ представить это интуитивно состоит в том, что мгновенная скорость — это то, что вы бы увидели, если бы у вас был спидометр, и вы посмотрели бы на него в момент времени t = 10. Показания спидометра в это время — не среднее значение с момента запуска автомобиля, а именно эта мгновенная скорость (это упрощение, так как внутренний механизм спидометра обязательно усредняет за короткий промежуток времени, но он улавливает суть).

Вы вычисляете коэффициент разности ,

$$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} \,,$$ куда $x\left(t\right)=490t^2$, $b=10$, и $a=0$такой, что $$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}~=~ \frac{490 \times {10}^2-490 \times 0^2}{10-0}~=~ 4900.$$ Разностное частное сходится к производной, поскольку конечные точки становятся бесконечно близкими. Ваш подход к вычислениям очень похож на то, как компьютеры выполняют части метода конечных разностей , если вы уменьшите этот интервал.

Например, давайте использовать ваш метод, где$x_b=10+0.001$и$x_a=10-0.001$; затем, попросив WolframAlpha сделать эту математику для нас , мы получили

$$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}~=~ \frac{490 \times {\left(10+0.001\right)}^2-490 \times {\left(10-0.001\right)}^2}{\left({10+0.001}\right)-\left({10+0.001}\right)}~\approx~ 9800.$$ Это примерно то же самое значение, которое мы получаем при подходе аналитического исчисления.

Тем не менее, если уравнению нужна мгновенная скорость изменения,$\frac{\mathrm{d}f\left(x\right)}{\mathrm{d}x}$, то это то, что нужно. Как вы заметили, коэффициент разности может быть совсем другим числом, когда разница между$x_b$и$x_a$не является пренебрежимо малым.

Здесь вы можете увидеть положение$x$меняется по отношению к$t$в качестве$x=490t^2$.

Вы можете видеть, что положение меняется быстрее с правой стороны. Скорость увеличивается, и конечная скорость явно отличается от начальной или средней скорости.

Я надеюсь, что визуализация поможет укрепить то, что другие ответы объясняют словами.

Как говорили другие, когда вы вычисляете

$$\frac{x(10)-x(0)}{10-0}$$ вы вычисляете среднюю скорость за 10-секундный интервал от $t=0$к $t=10$. Графически это соответствует нахождению наклона секущей (линии, пересекающей график в 2 точках), показанной на графике ниже:

Вопрос, однако, заключается в том, чтобы задать мгновенную скорость при$t=10$, что графически соответствует наклону касательной в$(10, 4900)$, как показано на графике ниже:

Если вы нанесете обе линии на один и тот же график, вы увидите, что они не имеют одинакового наклона; на самом деле касательная ровно в два раза круче секущей. Это наглядно демонстрирует, что мгновенная скорость не совпадает со средней скоростью.

А вот любопытное совпадение: мгновенная скорость при$t=0$точно$0$, мгновенная скорость при$t=10$является$9800$, поэтому средняя скорость на отрезке$0 \le t \le 10$оказывается равным среднему значению мгновенных скоростей в двух конечных точках интервала! В общем случае этого не происходит — в большинстве случаев «средняя скорость по$[a,b]$" означает нечто отличное от "среднего значения мгновенных скоростей в$a$и$b$" -- но это всегда происходит, когда функция положения является квадратичной (выяснение того, почему это верно, является забавным упражнением).

Вы путаете разницу между мгновенной скоростью и средней скоростью. Ваш метод рассматривает среднюю скорость, которая представляет собой изменение положения, деленное на время, необходимое для прохождения этого расстояния. Однако это не говорит нам о скорости при t = 10 секунд. В общем, объект может двигаться очень быстро, медленно или даже в состоянии покоя при t = 10, но при этом иметь одну и ту же среднюю скорость.

Производная по времени от положения дает нам мгновенную скорость в некоторый момент времени. Таким образом, любой метод, который вы описали, дает скорость, они просто не описывают одни и те же вещи.

Если скорость постоянна, средняя скорость и мгновенная скорость одинаковы, независимо от того, какой интервал вы используете для расчета средней скорости или какую точку вы используете для расчета мгновенной скорости.

В вашем примере скорость меняется - вы можете сказать, потому что расстояние пропорционально$t^2$, а не к t - поэтому и средняя, ​​и мгновенная скорости будут разными для разных промежутков времени или разных моментов времени соответственно.