Является ли соотношение «наклон = скорость» математически верным?

Question

Является ли соотношение «наклон = скорость» математически верным?

Сахил

$\text{Slope= tan(angle with respect to positive X-axis)= scalar output}$

$\text{velocity= a vector }$

Источник: Хью Д. Янг. Роджер А. Фридман. Университетская физика с современной физикой в единицах СИ (2019, Пирсон), стр. 67.

Тогда сомнения;

1. Действительно ли отношение «Наклон касательной = мгновенная скорость по оси x» означает «скаляр = вектор»?

2. Даже если я напишу «Наклон касательной = мгновенная x-скорость», если тангенс образует тупой угол, наклон будет отрицательным, и мы знаем, что мгновенная скорость является величиной мгновенной скорости, что делает мгновенную скорость положительным термином. Итак, что именно дает наклон?

Дополнительная информация:

Источник: Хью Д. Янг. Роджер А. Фридман. Университетская физика с современной физикой в единицах СИ (2019, Пирсон), стр. 67.

Аналогичная путаница возникает, $\text{ "Area under a x-t graph = change in x-velocity from time 0 to time t"}$ , с правым вектором и левой частью (площадью) в виде скаляра. Я думаю, что ответ на исходный вопрос также дает решение этой путаницы.

ммессер314

У 3blue1brown есть серия видеороликов об исчислении, которые отвечают на такие концептуальные вопросы, как этот. Первый — «Сущность исчисления», глава 1.

Ответы (1)

Является ли соотношение «наклон = скорость» математически верным?

У 3blue1brown есть серия видеороликов об исчислении, которые отвечают на такие концептуальные вопросы, как этот. Первый — «Сущность исчисления», глава 1.

Андрей · Answer 1

Андрей

Имейте в виду, что существует разница между вектором и компонентом вектора. Скорость — это вектор, x-компонента скорости (или " $x$ "скорость" на языке, который используется в вашей книге) — это всего лишь компонент вектора, который является скаляром.

Вектор скорости можно разложить по единичным векторам $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$ (которые удовлетворяют $\mathbf{e}_x\cdot \mathbf{e}_x=1, \mathbf{e}_x\cdot \mathbf{e}_y=0$ , и т. д):

в "=" в_{Икс} е_{Икс} + в_{у} е_{у} + в_{г} е_{г}

$\begin{equation} \mathbf{v}=v_x \mathbf{e}_x + v_y \mathbf{e}_y + v_z \mathbf{e}_z \end{equation}$ Наклон линии, которую вы записали, дает вам

v_{x}

$v_x$ , который является скаляром, заданным

v_{x} = v \cdot e_{x}

$v_x=\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_x$ . Эта величина является скалярной, поэтому нет проблем установить ее равной наклону. Это также величина со знаком , так что это не скорость (нет требования, чтобы

v_{x} > 0

$v_x>0$ ).

Дэвид Уайт

Компонент вектора является вектором сам по себе. В противном случае вы не могли бы добавить компоненты вектора, чтобы получить результат.

Андрей

@ДэвидУайт

v_{x} = v \cdot e_{x}

$v_x=\mathbf{v}\cdot{e}_x$ является скаляром, а не вектором, и именно эту величину я подразумеваю под

x

$x$ компонент

v

$\mathbf{v}$ " (Я также думаю, что это стандартное использование). Конечно

v_{x} e_{x}

$v_x \mathbf{e}_x$ является вектором, но я бы не назвал это вектором

x

$x$ компонент

v

$\mathbf{v}$ .

Сахил

@DavidWhite «ВНИМАНИЕ: компоненты не являются векторами», я просто скопировал и вставил из той же книги, о которой идет речь (стр. 42). В общем, «компонент вектора» означает «скалярные компоненты», а «векторные компоненты (необходимо явно указать) подразумевают «векторные компоненты», это термин, который вы упомянули как «компонент вектора ...».

Дэвид Уайт

@Sahil, если векторный компонент имеет величину (наверняка есть) и если векторный компонент имеет направление (должно), он считается вектором. Если вы просто говорите о величине векторного компонента, то это скаляр. Если эта цитата из вашей книги, то авторы книги не используют слово «компонент» так же, как я использовал его в течение 13 лет, когда я преподавал физику старшеклассникам, и они не используют это слово так же. так, как я видел его использование в любой другой книге по физике, которую я читал или использовал.

Сахил

@DavidWhite, Из того, что я узнал из книги, величина - это положительная сущность, с другой стороны, скаляр может быть положительным или отрицательным. Компонент вектора — это вектор, скалярный компонент (обычно называемый «компонентом») — это скаляр.

Дэвид Уайт

Я никогда не встречал словосочетания «скалярная составляющая» в книгах по физике, поэтому имейте в виду, что терминология, используемая другими авторами, может отличаться от той, что используется авторами книги, которую вы используете.

пользователь 288251

Компоненты векторов — это просто числа.

(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} \hat{x} + a_{2} \hat{y} + a_{3} \hat{z}

$(a_1 ,a_2, a_3)=a_1 \hat{x} +a_2 \hat{y} +a_3 \hat{z}$ является вектором. Набор компонентов

{a_{1}, a_{2}, a_{3}}

$\{a_1 ,a_2, a_3\}$ не является вектором.

a_{1}

$a_1$ это просто число. Причина, по которой они поднимают шум из-за этого, казалось бы, тривиального различия, заключается в том, что люди не понимают, что числа должны преобразовываться правильным образом, чтобы быть вектором. Это различие имеет значение, когда вы переходите к искривленным пространствам и тем же

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

$(a_1,a_2,a_3)$ соответствует разным векторам в зависимости от того, где

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

$(a_1,a_2,a_3)$ находится в космосе.

Андрей

Если мы действительно хотим быть очень точными, то я признаю, что мне немного неудобно звонить

v_{x}

$v_x$ скаляр, хотя это, безусловно, действительное число. Причина в том, что если вы трансформируете

v

$\mathbf{v}$ в другую основу, компоненты изменятся. Однако, если мы определим

v_{x}

$v_x$ как точечный продукт,

v_{x} \equiv v \cdot e_{x}

$v_x\equiv\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_x$ , затем

v_{x}

$v_x$ действительно скаляр. Однако все это находится на более высоком уровне, чем то, что нужно ОП для его вопроса, поэтому я не хотел вдаваться в этот вопрос в своем ответе.

Андрей

@Экспертнонэксперт

e_{x}

$\mathbf{e}_x$ это просто имя для определенного вектора, поэтому

v \cdot e_{x}

$\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_x$ является скалярным произведением двух векторов и, следовательно, является скаляром. Мы просто должны быть осторожны, чтобы интерпретировать

v_{x}

$v_x$ как скалярный продукт

v

$\mathbf{v}$ с вектором

e_{x}

$\mathbf{e}_x$ , а не "первый компонент

v

$\mathbf{v}$ на произвольной основе». Пока мы последовательны, это нормально. Но опять же, я думаю, что это на более высоком уровне, чем то, о чем спрашивал ОП.

Андрей

С другой стороны, глядя на quora (по общему признанию, не очень надежный источник;)), «векторные компоненты» могут быть векторами, скалярами или и тем, и другим: quora.com/Are-vector-components-scalar . Итак, есть много разных мнений :) просто обойду это и буду придерживаться

v \cdot e_{x}

$\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_x$ который определенно является скаляром.

пользователь 288251

Хорошо. По этому определению это скаляр, но это скаляр, который говорит вам что-то о конкретном базисе, а это, я полагаю, не то, что вы обычно хотите от скаляра на практике.

Андрей

@ExpertNonExpert Конечно. Я не думаю, что мы не согласны друг с другом. Тем не менее, я думаю, что если бы я углубился в это, ответ был бы вдвое длиннее и не устранил основную путаницу исходного вопроса.

Является ли соотношение «наклон = скорость» математически верным?

Сахил

ммессер314

Ответы (1)

Андрей

Дэвид Уайт

Андрей

Сахил

Дэвид Уайт

Сахил

Дэвид Уайт

пользователь 288251

Андрей

Андрей

Андрей

пользователь 288251

Андрей

Есть ли разница между мгновенной скоростью и величиной мгновенной скорости?

Каково правильное определение тангенциального ускорения?

Как найти тангенциальную/радиальную/угловую скорость движения по любой кривой? [закрыто]

В чем разница между средней скоростью и мгновенной скоростью?

Что значит нормальное ускорение?

Интегрирование тангенциального ускорения по времени

Скалярное произведение в цилиндрических координатах

Получите векторный градиент в сферических координатах из первых принципов

Проблемы с компонентами скорости

Как возможно точечное или перекрестное произведение с помощью оператора del?