Есть ли способ обосновать теорию возмущений в КТП?

Существует большое количество литературы по теме расходящихся асимптотических рядов. В этой статье дается обзор теории с практической точки зрения. В этой статье основное внимание уделяется методам, которые можно применять к асимптотическим рядам, все члены которых известны или, по крайней мере, коэффициенты поздних членов известны в некотором главном приближении. В КТП обычно имеется всего несколько членов разложения по возмущению, но даже в этом случае можно применить определенные математические методы для возобновления ряда.

Таким образом, типичная задача состоит в том, что при пертурбативном разложении некоторой функции$f(g)$в степенях некоторой связи$g$мы хотим знать поведение$f(g)$для больших$g$, но для больших$g$ряд начинает расходиться очень быстро, и у нас есть только несколько членов. Это не так безнадежно, как кажется, рассмотрим следующий пример. Логарифм факториальной функции$\log(n!)$имеет следующее асимптотическое разложение для больших$n$:

$$\log(n!) = n\log(n) - n + \frac{1}{2}\log(2\pi n) + \frac{1}{12 n} - \frac{1}{360 n^3} + \mathcal{O(n^{-3})}$$

Предположим, что это все термины, о которых мы знаем. Мы хотим извлечь поведение факториальной функции вблизи$n = 0$используя только указанные термины. Мы, очевидно, не можем установить$n = 0$, отдельные члены уже будут расходиться. Но что мы можем сделать, так это экстраполировать на$n = 0$используя только большие значения для$n$где сериал имеет смысл. Например, нет проблем с вставкой даже не таких больших значений, как$n = 1$в серию, причем можно поставить$n = 1+\epsilon$, разложить по степеням$\epsilon$а затем установить$\epsilon = -1$прыгать к$n = 0$. Таким образом, правильность таких методов зависит от предположения, что функция, с которой вы имеете дело, является аналитической в ​​окрестности$n = 0$, и тот факт, что вам нужно использовать расходящийся ряд вокруг бесконечности, чтобы добраться туда, не делает приближения недействительными.

Более изощренный способ добраться до поведения рядом$n = 0$заключается в применении конформного преобразования к параметру расширения. Если мы положим:

$$n = \frac{1-z}{p z}$$

и расширить полномочия$z$, мы получаем:

$$\begin{split} f(z) =& \frac{1}{2}\log\left(\frac{2\pi}{p}\right)+\frac{\log(p)}{p} +\frac{1-\log(p)}{p z}+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)\log(z) -\frac{\log(z)}{p z} +\\&\left(\frac{p}{12}+\frac{1}{2 p}-\frac{1}{2}\right)z + \left(\frac{p}{12}+\frac{1}{6 p}-\frac{1}{4}\right)z^2 + \left(-\frac{p^3}{360}+\frac{p}{12}+\frac{1}{12 p}-\frac{1}{6}\right) z^3+\mathcal{O}(z^4) \end{split}$$

Теперь проблем с вставкой нет$z=1$в серии, которая соответствует$n = 0$. Результат будет зависеть от вспомогательного параметра$p$, оптимальный выбор этого параметра — подобрать его таким образом, чтобы ряд имел наилучшую сходимость. Хороший выбор получается, если установить коэффициент последнего члена равным нулю, а затем оценить коэффициент коэффициента предыдущего члена, чтобы увидеть, какое решение делает этот коэффициент наименьшим. Это дает хорошие результаты, потому что обычно ошибка порядка последнего пропущенного члена. Другая интерпретация заключается в том, что ответ не зависит от$p$, но теперь у вас есть$p$зависимость из-за наличия конечного числа членов. Если вы затем уменьшите последние члены как можно меньше, вы получите результат, который для других значений$p$должно было исходить из терминов более высокого порядка. Также стоит рассмотреть более ранние термины, чтобы увидеть, дает ли конкретное значение более надежный ряд.

В этом случае вы обнаружите, что$p = 0.863778859012849315368798819337$выглядит лучшим значением для использования, это был бы второй выбор при рассмотрении значения коэффициента$z^2$, но другое решение, которое делает этот коэффициент наименьшим, дает ряд с коэффициентом, который немного увеличивается, прежде чем стать равным нулю для$z^3$срок.

Итак, если мы тогда положим$p = 0.863778859012849315368798819337$, мы можем положить$z = 1$оценить$0!$, но мы можем сделать больше. Мы можем расширить нашу функцию$z$вокруг$z = 1$, поставив$z = 1-u$и расширение полномочий$u$. Если мы также расширим$n$в полномочиях$u$, мы можем инвертировать ряд, чтобы выразить$u$в полномочиях$n$, так что мы получаем ряд$\log(n!)$в полномочиях$n$. Результат:

$$\log(n!)= 0.0002197 - 0.577755 n + 0.823213 n^2 - 0.401347 n^3 +\cdots$$

Точное расширение с коэффициентами до 8 значащих цифр:

$$\log(n!) = -0.57721566 n + 0.82246703 n^2-0.40068563 n^3+\cdots$$

Ясно, что из расходящихся рядов можно извлечь много информации, даже если у вас всего несколько терминов. Математическая строгость должна использоваться в ваших интересах, чтобы извлечь как можно больше информации, вас не должна пугать математическая строгость, указывающая на препятствия.

Я думаю, что вы совершенно неправильно понимаете понятие расходимости ряда возмущений. Предположим, что результат известен с точностью до второго порядка, поэтому мы имеем что-то вроде$f\left(\epsilon\right)=1+a\epsilon+b\epsilon^{2}+\dots$для решения, когда$\epsilon\ll 1$. Это нормально, и как только вы вычислили константы$a$и$b$, вы обычно видите, что$b\ll a$, так что вы считаете, что получили хорошее пертурбативное расширение.

Что вы можете доказать с помощью разложения возмущения, так это то, что для некоторых точек вы получите член следующего порядка, больший, чем предыдущий, скажем, третий.$c\gg b$. Полный ряд будет расходиться, но решение только с$a$и$b$являются хорошим приближением к решению.

Этому не хватает строгости, но вы должны знать, что в интересных проблемах физики нет сходящихся рядов ... все интересующие проблемы страдают от этой проблемы. Он был открыт Пуанкаре в начале 20-го века, когда он пытался решить задачу трех тел (скажем, движение Луны, вращающейся вокруг Земли, вращающейся вокруг Солнца).

Обычно математики записывали решение до третьего порядка.

$$f\left(\epsilon\right)=1+a\epsilon+b\epsilon^{2}+\mathcal{O}\left(\epsilon^{3}\right)$$

потому что они знают, что следующий заказ будет небольшим количеством. У них есть инструменты для оценки всех более высоких порядков (обычно это интегральная форма полного решения, например, когда проблема представляет собой дифференциальное уравнение) и для сравнения его с первыми членами. Физики пишут вместо

$$f\left(\epsilon\right)=1+a\epsilon+b\epsilon^{2}+\cdots$$ потому что они обычно понятия не имеют, когда теория возмущений рухнет.

Математики доказали, что$\mathcal{O}\left(\epsilon^{3}\right)$(до третьего порядка для нашего примера здесь) на самом деле велико и может даже расходиться для некоторых физических приложений. И что ? Физики считают, что нужно просто забыть об этих членах более высокого порядка, поскольку члены более высокого порядка вполне могут контролироваться более точной теорией, принимая во внимание дополнительные взаимодействия, которые не учитывались в расходящейся модели. В любом случае все в чем-то правы, так как никто не знает, как выглядит полная модель всей вселенной...

Таким образом, в основе теории возмущений лежит очень глубокий метод физики: вы берете модель, вычисляете некоторые результаты, ставите эксперименты... снова и снова.