Состояния в КМ и в алгебраическом подходе

В КМ состояния являются векторами в гильбертовом пространстве.$\mathscr{H}$. Их часто обозначают как$|\psi\rangle$.

С другой стороны, в алгебраическом подходе мы имеем один$\ast$-алгебра$\mathscr{A}$а состояния являются линейными функционалами$\omega : \mathscr{A}\to \mathbb{C}$такой, что$\omega(a^\ast a)\in [0,\infty)$и$\omega(1)=1$.

Совершенно непонятно, как связаны эти две вещи.

Для первого шага у нас есть конструкция GNS. Конструкция ГНС следующая:

GNS Construction : Учитывая$\ast$-алгебра$\mathscr{A}$и государство$\omega : \mathscr{A}\to \mathbb{C}$мы можем построить одно гильбертово пространство$\mathscr{H}_\omega$, один$\ast$-представление$\pi_{\omega} : \mathscr{A}\to \mathscr{A}(\mathscr{H}_\omega)$и один$\Omega \in \mathscr{H}$такой, что$\pi_{\omega}(\mathscr{A})\Omega$плотный и

$$\omega(a)=\langle \Omega ,\pi_\omega(a)\Omega\rangle.$$

Теперь у нас есть кое-что интересное:

1. Каждое алгебраическое состояние$\omega$порождает целое гильбертово пространство, на котором$\omega$становится выдающимся$\Omega$и это дает одно среднее значение в обычном смысле КМ.

2. Другие единичные векторы в гильбертовом пространстве порождают алгебраические состояния. На самом деле, если$\Phi\in \mathscr{H}$у нас есть это

   $$\omega_\Phi(a)=\langle \Phi, \pi_{\omega}(a)\Phi\rangle$$ является одним алгебраическим состоянием. Это, очевидно, линейный функционал и, конечно, удовлетворяет$\omega_{\Phi}(1)=1$и $$\omega_{\Phi}(a^\ast a)=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a^\ast a)\Phi\rangle=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a^\ast)\pi_{\omega}(a)\Phi\rangle=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a)^\ast \pi_\omega(a)\Phi\rangle=\langle \pi_\omega(a)\Phi,\pi_{\omega}( a)\Phi\rangle=|\Phi|^2\in [0,+\infty)$$

3. С другой стороны, не кажется, что каждое алгебраическое состояние порождает одно обычное состояние в$\mathscr{H}_\omega$. На самом деле, из-за теоремы Рисса о представлении было бы достаточно, чтобы для каждого алгебраического состояния$\phi$было одно алгебраическое состояние$\tilde{\Phi}$на$\mathscr{A}(\mathscr{H}_\omega)$. Это в свою очередь требует, чтобы$\tilde{\Phi}(\pi_{\omega}(a))=\phi(a)$таким образом, чтобы это было правдой, нам потребуется$\pi_\omega$быть обратимым. Другими словами, представление должно быть точным.

Эти точки показывают, что алгебраические состояния, хотя и связаны с обычными векторами состояния из КМ, не эквивалентны им. На самом деле кажется, что у нас больше алгебраических состояний, чем векторов состояний.

Кроме того, GNS позволяет нам действительно представлять каждое состояние в виде вектора состояния, но в разных гильбертовых пространствах. Пункт (2) я сделал тогда гарантирующим, что каждый такой вектор состояния может быть отождествлен с одним алгебраическим состоянием, но кроме него есть и другие, которые не принадлежат этому гильбертовому пространству. Однако даже если мы выберем одно из этих состояний в (2) и выполним с ним построение GNS, кажется, что мы получим совершенно другое пространство Гиберта.

Кажется, что роль алгебраических состояний состоит только в том, чтобы генерировать представление, и это довольно странно, учитывая обычную точку зрения КМ на состояния.

Так как же правильно понимать алгебраические состояния? Как они соотносятся с обычным понятием состояний из КМ? Всегда ли для работы с ними на практике нужно использовать конструкцию GNS?

Как нам быть с тем фактом, что алгебраических состояний оказывается больше, чем векторных состояний КМ, в том смысле, что когда мы выполняем построение GNS, некоторые алгебраические состояния оказываются «упущенными»?