Концептуальная трудность в понимании непрерывного векторного пространства

Ваше сомнение не смешно, оно, вероятно, просто из-за того, что в физике часто преподается математика. (Я тоже физик, и в течение своей карьеры мне приходилось терпеть нелепые заблуждения, тратя много времени на решение несуществующих псевдоматематических задач вместо того, чтобы сосредоточиться на реальных физических проблемах). Есть толковые математические определения , но есть и практическое применение математики в физике. Бедствия возникают, на мой взгляд, при смешении двух уровней, особенно при обучении студентов.

Гильбертово пространство частицы в КМ не непрерывно: это сепарабельное гильбертово пространство ,$L^2(\mathbb R)$который именно в силу своей сепарабельности допускает дискретные счетные ортогональные базисы.

Более того, хорошо известная теорема доказывает, что если гильбертово пространство допускает счетный ортонормированный базис, то любой другой базис счетен (в более общем случае все гильбертовы базисы имеют одинаковую мощность).

В$L^2(\mathbb R)$, счетный базис, имеющий физический смысл, состоит, например, из собственных векторов$\psi_n$оператора гамильтониана гармонического осциллятора.

Однако для практических вычислений удобно также говорить о формальных собственных векторах , например, оператора положения:$|x\rangle$. В таком случае,$x \in \mathbb R$так могло показаться, что$L^2(\mathbb R)$допускает также несчетные базы. Это ложь!$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$не является ортонормированным базисом. Это просто формальный объект , (очень) полезный в вычислениях.

Если вы хотите сделать эти объекты строгими, вы должны представить пространство состояний как прямой интеграл по$\mathbb R$конечномерных пространств$\mathbb C$, или как оснащенное гильбертово пространство . Однако в обоих случаях$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$не является ортонормированным гильбертовым базисом. А также$|x\rangle$не принадлежит$L^2(\mathbb R)$.

В заключение я хотел бы подчеркнуть, что векторы$L^2(\mathbb R)$являются классами эквивалентности функций:$\psi$эквивалентно$\phi$если$\int| \psi(x)−\phi(x)|^2 dx=0$, так что если$\psi(x)\neq \phi(x)$на множестве, мера которого равна нулю, они определяют, однако, один и тот же вектор$L^2$. Следовательно, значение, которое элемент пространства принимает в данный$x$не имеет никакого смысла, так как каждый набор$\{x\}$имеет нулевую меру.