Есть ли связь между простыми числами и музыкой?

Есть одно замечание относительно простых чисел. Никакая степень простого числа (кроме 0) не является степенью любого другого простого числа. Таким образом, никакое количество сложенных пятых не будет равно любому количеству сложенных октав. (Принимая квинту за соотношение 3:2). Таким образом, любая полезная музыка, состоящая более чем из нескольких нот, нуждается в темперировании.

В «пифагорейской» настройке используются только соотношения, использующие 2 или 3. В «простой» настройке используются соотношения, использующие 2, 3 и 5. Пифагорейская терция становится 81/64, а правильная терция - 5/3; эти не совпадают.

Помимо этого, не так уж много, кроме выяснения того, как смягчить разницу между (например) 7 октавами и 12 пятыми на практике.

Я бы сказал "тривиально, да".

Да, потому что музыка может быть проанализирована и часто создается способами, которые включают числа и основы алгебры (такие как сложение и умножение), и как только в дело вступают числа, особенно когда задействовано умножение (и деление), простые числа становятся значимыми.

Тривиально, потому что каждая ветвь человеческой мысли, которую можно проанализировать и/или развить с помощью чисел и базовой алгебры, и особенно умножение/деление, имеет значимое взаимодействие с простыми числами.

Это потому, что сама природа простых чисел заключается в том, что они создают закономерности в том, как числа в целом умножаются и делятся.

Вот список лишь некоторых областей музыки, в которых простые числа имеют важное взаимодействие с концепцией из-за полезности умножения и / или деления целых чисел:

• частотные отношения и интервалы
• тактовые размеры и ритмы
• строй, интонация и гаммы
• резонанс, демпфирование и конструкция инструмента
• акустика
• и т. д.

Между некоторыми из этих областей есть совпадения, как многие наверняка заметят.

Что касается конкретно идей Эйлера, то они не кажутся мне особенно полезными, по крайней мере, с музыкальной точки зрения. Они могут быть интересны по-своему, но я думаю, что есть причина, по которой люди не часто ссылаются на эти идеи, говоря о музыке. Кроме того, математические инновации Эйлера гораздо интереснее.

ДА! И это увлекательно.

Простые числа (>3) встречаются только на 6n+/-1 (рядом с числом, делящимся на шесть). Это происходит из-за взаимодействия между произведениями чисел 2 и 3. Если вы думаете о числовой строке как о музыке в размере 6/8, то простые числа всегда появляются на второй или последней дрожи каждого такта. Таким образом, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д.

Распределение простых чисел полностью определяется взаимодействием между «волнами произведения» меньших простых чисел. Каждое простое число производит продукты в 6n+/-1 в соответствии с правилом, согласно которому в этом месте на каждые 6p чисел приходится два продукта. Например, произведения 5, встречающиеся в этом месте, всегда делают это при 6np+/-p, то есть дважды в каждых 30 (6p) числах.

Все это связано с взаимодействующими частотами, и теория чисел широко использует анализ Фурье. Хитрость анализа состоит в том, чтобы признать, что «музыки простых чисел» не существует, а есть, скорее, «музыка произведений простых чисел», и именно это определяет распределение простых чисел.

Любой, кто знаком с акустикой и механикой вибрирующих струн, легко сможет понять, как работают простые числа.

Эпоха равного темперамента, начатая Бахом, сделала такое соотношение, как 3:2, устаревшим. Музыка последних двух столетий, использующая 12-нотную шкалу, изменяет частоту каждой восходящей ноты, умножая частоту текущей ноты на 2 ^ (1/12), что мы называем двенадцатым корнем из 2. Это имеет смысл, потому что это геометрическая прогрессия.

Это поражает умы тех, кто думает, что интервал большой квинты (скажем, от C до G) должен быть ровно в 1,5 раза больше частоты . Г-н Бах изменил это значение на компромиссное значение 2 ^ (7/12) точно . Вот отношение интервала квинты (например, C к G) с точностью до 12 знаков: 1,49830707688:1.

Каждый полушаг требует умножения частоты на 2 ^ (1/12) или 1,05946309436, что является иррациональным числом (что означает, что оно не является и не может быть отношением любых двух целых чисел). Если вы умножите это число 12 раз на себя, оно означает, что вы поднялись на 12 полутонов (полутонов), составляющих нашу 12-тональную шкалу, и получили целое число 2. Каждая октава является второй гармоникой, или удвоенной частотой начальной ноты. Это означает, что конкретная нота в любой октаве будет «настроена» на эту ноту в любой другой октаве. следовательно, все ля гармонируют друг с другом, все ноты ре-диез созвучны и т. д.

Это не относится к квинтам, у которых будет «бит» или колеблющийся звук при игре против основной ноты. Это может быть источником преувеличенного вибрато, которое многие певцы навязывают нашим ушам в наши дни.

Извините, если я надул какие-то пузыри, но со времен Баха инструменты, использующие 12-тональную гамму, разрабатываются и производятся для настройки, и музыканты проводят свою жизнь, учась играть в равной темперации, используя корень двенадцатой степени из двух, что является иррациональным числом, означающим, что оно не может и не равняется отношению любых двух целых чисел, простых или нет.

Другие гаммы с другим количеством нот могут иметь некоторые интервалы, равные отношению двух целых чисел, и может быть даже возможно основывать интервалы на соотношении двух простых чисел, но такая настройка была бы почти полностью несовместима с обычным 12-тональным. система. (Если конечно ваше сочинение не было "Соната для кота и газонокосилки")

Извини.

А теперь хватит математики на один день! Я собираюсь вернуться к своему сочинению.

Это мой ответ (но это не просто своего рода QA (поскольку я действительно не видел этой связи раньше!)

Начиная с наименьших простых чисел:

Это 1,2,3,5,7,11 ...

Вот чему мы научились в начальной школе: эти числа можно делить только на 1 и сами на себя.

обертоны (гармоники) и частоты: обратите внимание, что я отредактировал длину волны до длины струны !

в 1. столбце диаграммы Длина струны , в 2. Частотном коэффициенте , в 3. результирующем тоне

1 => 1 = например, C

1/2 => 2 = с

1/3 => 3 = г

1/4 => 4 = c (8va c 1/2 x 1/2)

1/5 => 5 = е

1/6 => 6 = г (8ва г 1/2 х 1/3)

1/7 => 7 = b7

1/8 => 8 c (8va c 1/2 x 1/4)

1/9 => 9 д (5 ст 1/3 х 1/3)

1/10 => 10 е (8ва е 1/2 х 1/5)

и т. д.

как мы видим, выделенные жирным шрифтом частоты — это новые обертоны , все остальные — кратные уже полученным обертонам , которые, очевидно, могут быть разделены на другое простое число , которое уже было получено. Эта таблица показывает, что каждый новый гармонический тон, очевидно, должен быть идентичен следующему простому числу , которое не может делиться ни на какое другое число, кроме единицы или самого себя. Вот почему некоторые могут сказать, что это тривиально, но до сих пор для меня это не было тривиально! Нет сходства или корреляции между гармониками и простыми числами. Они идентичны.

Редактировать:

Этим последним предложением я хотел сказать:

Простые числа и обертоны — это одно и то же, только в разных терминах и средствах, так как все непростые числа должны быть октавами или квинтами обертонов тех, которые мы уже разработали: например

Но теперь я вижу то, что упустил: пифагорейскую запятую: 7 октав не равны 12 квинтам. Я совсем забыл этот момент!

Здесь я нашел статью, говорящую то же самое:

Номера гармоник эквивалентны значениям исходных гармоник во всех предыдущих обсуждениях эволюции гармоник. Поскольку мы изучали только до Quintality, большинство из них были простыми. Но, как мы видим из диаграммы, численно большинство исходных гармоник и гармонических множителей не являются простыми, любое из которых является произведением простых чисел — своего собственного ряда гармоник и множителей. Назовем первую в ряду ее корневой гармоникой, которая, таким образом, отличается от самого произведения – исходной гармоникой. Он определяет корень духовной или физической природы происхождения продукта.

Там написано эквивалентно , что я думаю, это лучше, чем одно и то же.

и вот еще одна ссылка, в которой говорится, что простые числа и гармоники равнозначны:

http://tonalsoft.com/enc/p/prime.aspx

http://tonalsoft.com/enc/p/prime.aspx