Евклидово определение температуры черной дыры; конические особенности

Что ж, сингулярность не касается дифференцируемой структуры: даже вокруг вершины конуса (включая вершину) можно определить гладкую дифференцируемую структуру (очевидно, эта гладкая структура не может быть индуцирована естественной в$R^3$когда конус рассматривается как встроенный в$R^3$). Однако здесь особенность метрична! Рассмотрим$2D$гладкое многообразие в точке$p$, предположим, что гладкая метрика может быть определена в окрестности$p$, включая$p$сам. Далее рассмотрим кривую$\gamma_r$окружающий$p$определяется как множество точек с постоянным геодезическим расстоянием$r$из$p$. Позволять$L(r)$быть (метрической) длиной этой кривой. Можно доказать, что:

$$L(r)/(2\pi r) \to 1\quad \mbox{ as $r \to 0$.}\qquad (1)$$ На самом деле совершенно очевидно, что этот результат имеет место. Мы говорим, что $2D$многообразие, снабженное гладкой метрикой в ​​окрестности $A-\{p\}$, из $p$(заметьте, что сейчас $p$не принадлежит множеству, где определена метрика), имеет коническую особенность в $p$если: $$L(r)/(2\pi r) \to a\quad \mbox{ as $r \to 0$,}$$ с$0<a<1$.

Обратите внимание, что класс кривых$\gamma_r$может быть определено в любом случае, даже если метрика в$p$не определен, поскольку длина кривых и геодезических, однако, определена (как предел, когда конечная точка заканчивается в$p$). Очевидно, если в$p$, невозможно расширить метрику$A-\{p\}$к$p$, иначе (1) было бы верно, и мы знаем, что оно ложно.

Как вы понимаете, все, что не зависит от выбора координат, вы фиксируете вокруг себя.$p$. Тем не менее, полярные координаты очень удобны для вычислений: тот факт, что они не определены точно в$p$не имеет значения, поскольку нас интересует только то, что происходит вокруг$p$при вычислении пределов, как указано выше.

Да, удалив точку, можно было бы избавиться от особенности, но факт остается фактом: невозможно расширить многообразие, чтобы метрика была определена и в предельной точке.$p$: метрика на остальной части многообразия помнит о существовании конической особенности!

Тот факт, что лоренцево многообразие не имеет особенностей в евклидовом сечении и является периодическим в евклидовой временной координате, имеет следующую физическую интерпретацию в многообразии с раздвоенным горизонтом Киллинга, порожденным векторным полем Киллинга$K$. Как только вы введете теорию поля в лоренцевом сечении, гладкость многообразия и периодичность по евклидову времени подразумевают, что двухточечная функция поля, вычисленная относительно единственного гауссова состояния, инвариантного относительно времени Киллинга и проверка так называемого условия Адамара (которое аналитически продолжается в евклидово время для получения евклидова сечения) проверяет определенное условие, называемое условием КМС с периодичностью$\beta = 8\pi M$.

Это условие означает, что состояние тепловое , а период мнимого времени есть константа$\beta$канонического ансамбля , описываемого этим состоянием (где также взят термодинамический предел). Таким образом, соответствующая температура «статистической механики» равна:

$$T = 1/\beta = 1/8\pi M\:.$$

Однако «термодинамическая температура»$T(x)$измеряется на мероприятии$x$с помощью термометра, «покоящегося с» (т. е. мировая линия которого касается) Время Киллинга в лоренцевом сечении должно быть скорректировано известным коэффициентом Толмена . Он учитывает тот факт, что воспринимаемая температура измеряется относительно собственного времени термометра, тогда как состояние поля находится в равновесии относительно времени Киллинга . Отношение понятий температуры такое же, как обратное отношение двух понятий времени, и оно заключено в компоненте (квадратный корень из величины).$g_{00}$метрики

$$\frac{T}{T(x)}=\frac{dt_{proper}(x)}{dt_{Killing}(x)} = \sqrt{-g_{00}(x)}\:.$$ В асимптотически плоском пространстве-времени для $r \to +\infty$, он держит $g_{00} \to -1$так что температура "статистической механики" $T$совпадает с измеренным термометром $T(r=\infty)$далеко от горизонта черной дыры. Это ответ на ваш последний вопрос.

В комментариях вы говорили о гладких структурах на конифолдах и спрашивали о конифолдах, которые не являются многообразиями...

Конечно, это зависит от вашего определения конифолда (см., например, Буало-Либ-Порти «Геометризация трехмерных орбифолдов» для определения гиперболического, евклидова или сферического конифолда).

См. Макмаллен - «теорема Гаусса-Бонне для конусных многообразий» для хорошего определения риманова конусного многообразия (или конифолда).

В любом случае дополнением к сингулярному множеству (имеющему коразмерность не менее двух) конифолда является многообразие с гладкой римановой метрикой, а конифолд — его геодезическое пополнение.

В любом определении конифолд (или конус-многообразие) должен быть пространством метрической длины и стратифицированным пространством с гладкой структурой и римановой метрикой (в смысле стратифицированных пространств, а не многообразий вообще).

Для примеров, не являющихся многообразиями (с использованием определения Макмаллена) ... В измерении два каждое 2-конифолдное (или конусная поверхность) топологически является многообразием, в отличие от более высокого измерения: подумайте, например, о евклидовом конусе над сферической проективной плоскостью. (т.е. круглая 2-сфера по модулю Z/2)