Как принцип Гюйгенса включает свойство однонаправленности бегущей волны?

Ссылка, которую вы дали, заставила меня искать более подробный ответ, и я узнал интересный факт:

Строительство Гюйгенса работает в 1 и 3 измерениях, НО НЕ В ДВУХ!

Теория, лежащая в основе этого, была впервые выведена Френелем, а затем Кирхгофом — математика подробно объясняется в этой статье . Все сводится к тому, что волновое уравнение для волн, распространяющихся из точки, можно записать в виде

куда$n$это размерность. За$n=1$или$n=3$второй член слева исчезает, и выражение становится похожим на выражение одномерной волны, распространяющейся наружу. За$n=2$, как и для ряби на пруду, на самом деле есть еще один термин, который означает, что волны «бегут назад». В этом случае обычная конструкция Гюйгенса (вполне) не работает.

Довольно тонкие вещи — и тот факт, что математическая обработка произошла более чем через 100 лет после первоначальной публикации Гюйгенсом своих идей (1679 г.: публикация «Traité de la Lumière»; Френель родился в 1788 г.), — это то, что я раньше не ценил. . Небрежное отношение к нему в книге Френча имеет смысл в контексте большой книги, быстро охватывающей много вопросов, но я ценю, что вы обратили мое внимание на этот вопрос; это интереснее, чем кажется на первый взгляд.

Принцип Гюйгенса, заключающийся в взятии выпуклой оболочки сферических волн, излучаемых всеми точками волнового фронта, действительно дает вам два новых волновых фронта: один «вперед» и один «назад». Оба они имеют смысл: «прямой» волновой фронт соответствует запаздывающему решению волнового уравнения, «обратный» волновой фронт соответствует опережающему решению волнового уравнения.

Оба эти волновых фронта имеют физический смысл: «обратный» — это место, где была волна ( если она не была испущена в этот момент — это важно), «прямой» — это место, где волна будет , так как распространяется запаздывающая функция Грина. решения вперед во времени, а расширенные функции Грина распространяют их назад во времени. Это вы должны просто вывести из самого волнового уравнения, это не следует из принципа Гюйгенса.

Я хотел бы добавить к ответу ACuriousMind . В его/ее ответе подчеркивается, что уравнения Максвелла и другие уравнения, которые порождают ядро ​​сферической волны Гюйгенса в их функциях Грина, по своей сути акаузальны , и мы должны навязывать причинность вручную через соответствующие граничные условия.

В задачах с антеннами мы просто отбрасываем часть решения с опережающей волной, чтобы установить причинно-следственную связь между током/напряжением источника и полем.

В теории дифракции Кирхгофа добавляется коэффициент наклона $(1+\cos\theta)/2$чтобы убить передовую волну. Теория Кирхгофа «выводит» коэффициент наклона из эквивалентных граничных условий на дифрагирующей щели, но граничные условия эквивалентны силе причинности.

Отвечая на ваш последний вопрос:

«Я не понимаю, как его рассуждения на самом деле предотвращают возможность образования обратных волн. Может ли кто-нибудь помочь мне визуализировать то, что он говорит? Как его рассуждения поддерживают однонаправленное распространение волн? Кто-нибудь может объяснить его аргумент?» где «его» относится к Гюйгенсу:

См. «Трактат о свете», Христиан Гюйгенс, 1678 г. (Забытые книги, 2012 г.). В нем Гюйгенс имеет дело с обратной волной на странице 21: «..., но тем самым она просто будет генерировать назад к светящейся точке некоторые частичные волны, неспособные вызывать свет, а не волну, составленную из многих, как CE». Здесь CE — расширяющийся фронт волны (огибающая вейвлетов), показанный на рисунке на стр. 19. Гюйгенс считал распространяющейся средой эфир, состоящий из частиц эфирного вещества, и, по-видимому, распространение происходило через частицы, сталкивающиеся с друг с другом. Я думаю, что его рассуждения об обратных волнах заключались в том, что движение частицы было в основном направленным наружу, вдали от светящейся точки (точки происхождения движения), и поэтому любое движение частицы во внутреннем направлении было бы «слабым».

Основным ресурсом по принципу Гюйгенса, как он развивался с тех пор, является «Математическая теория принципа Гюйгенса», Бейкер и Копсон, Челси, 1987. Здесь формула Пуассона, страницы 14–20, используется, чтобы показать, что обратная волна не будет сформировался. Позже, используя результаты Френеля и Гельмгольца, он показывает то же самое для монохроматических волн, страницы 20–28. Однако, возможно, сомнительно, была ли уже проделана окончательная работа по этому или другим вопросам принципа Гюйгенса.

Согласно Фойгту и Кирхгофу, вклад вейвлета зависит от угла ($Y$), который он формирует с нормалью вейвлета, равен$\frac12(1+\cos Y)$. Мы знаем формы вейвлета$180$с нормалью, поэтому его вклад равен нулю, согласно математической формуле, данной Фойгтом и Кирхгофом.