F=maF=maF = ma и мгновенная сила

Question

F=maF=maF = ma и мгновенная сила

xqst

Я новичок в физике и пытаюсь понять второй закон Ньютона. $F = ma$ но я не думаю, что очень хорошо понимаю концепцию силы. Я читал другие вопросы и ответы по этому закону, и на данный момент я понимаю, что $F = ma$ есть «определение» силы, основанное на эмпирическом «законе», согласно которому произведение $m \times a$ остается постоянным, когда при изменении массы применяется одно и то же количество «силы» (здесь термин используется в разговорной речи до его формального определения и присвоения единицы СИ). Но все же, я, кажется, не понимаю всей динамики, которую подразумевает закон.

Предположим, во время $t=0$ , внешняя (?) сила $1$ N применяется к покоящейся массе ( $x'(0) = 0$ ) на одномерном пространстве без трения с начальным перемещением $x(0) = 0$ . Приложенная сила является мгновенной в том смысле, что пуля или любой другой объект, приложивший силу, рикошетит или исчезает сразу же после контакта с покоящейся массой. Вот мой краткий ход мыслей, по которому мне нужно руководство:

Поскольку сила была мгновенной, $F(0) = 1$ и $F(t) = 0$ для $t > 0$ . Тогда второй закон будет означать, что масса вообще не движется, так как $p(t) = \int_0^t F(v) dv = 0$ , что означает нулевую скорость.
Нет нет, это не имеет смысла. Начальное условие $F(0) = 1$ приложенная к покоящейся массе, даст мгновенное ускорение $a(0) = 1/m$ . Но как изменяется ускорение или скорость? Кажется странным, если ускорение постоянно во времени, но если оно непостоянно, то я не понимаю, как продолжить вычисление траектории.

Я пришел к выводу, что либо неправильно понимаю, что такое сила, либо мне не хватает набора инструментов для кинематики, либо я просто полностью сумасшедший и в целом заблуждаюсь. Я только начинаю самостоятельно изучать основы физики и чувствую, что начинаю не с той ноги. Вот я и прошу совета. Пожалуйста, исправьте меня и заполните меня тем, чего мне здесь не хватает/недопонимания.

Филип

Вместо (нефизической) «мгновенной» силы, подобной той, с которой вы имеете дело, почему бы вам не попытаться решить проблему с постоянной силой (скажем) 1 Н, действующей в течение некоторого конечного времени (скажем, 1 второй)?

xqst

@Philip Филип Я думаю, что последний пункт в ответе BioPhysicist относится к вашему комментарию. Мне любопытно, что вы подразумеваете под мгновенной силой (или импульсом, я полагаю) нефизической. Означает ли это, что все взаимодействия в физике или, по крайней мере, в ньютоновской механике непрерывны? Я хотел бы получить общее представление, чтобы знать, куда я направляюсь, когда учусь.

Джон Алексиу

Сила 1 Н в течение 0 секунд сообщает объекту импульс 0.

Ответы (3)

F=maF=maF = ma и мгновенная сила

Вместо (нефизической) «мгновенной» силы, подобной той, с которой вы имеете дело, почему бы вам не попытаться решить проблему с постоянной силой (скажем) 1 Н, действующей в течение некоторого конечного времени (скажем, 1 второй)?
@Philip Филип Я думаю, что последний пункт в ответе BioPhysicist относится к вашему комментарию. Мне любопытно, что вы подразумеваете под мгновенной силой (или импульсом, я полагаю) нефизической. Означает ли это, что все взаимодействия в физике или, по крайней мере, в ньютоновской механике непрерывны? Я хотел бы получить общее представление, чтобы знать, куда я направляюсь, когда учусь.
Сила 1 Н в течение 0 секунд сообщает объекту импульс 0.

Биофизик · Answer 1

Предупреждение: впереди нестрогая математика.

Обычно мы обрабатываем мгновенные вещи в физике с помощью дельта-функции Дирака , которая качественно представляет собой бесконечный всплеск в некоторой заданной точке. Мы можем использовать это здесь, чтобы выразить мгновенную силу в терминах импульса за время:

Ф (т) "=" {Дж}_{0} дельта (т)

$F(t)=J_0\delta(t)$ так что полное изменение импульса объекта определяется выражением

Δ п "=" \int Ф (т) д т "=" \int {Дж}_{0} дельта (т) д т "=" {Дж}_{0}

$\Delta p=\int F(t)\,\text dt=\int J_0\delta(t)\,\text dt=J_0$

Разница между использованием дельта-функции Дирака и тем, что вы предлагаете, заключается в том, что $F(0)\neq1\,\rm N$ в приведенном выше анализе. Вместо, $F(0)\to\infty$ . Это единственный способ заставить мгновенную силу что-то делать, потому что нет области под конечным шипом, как вы предлагаете. Другими словами, если мы используем предложенную вами силу

Ф (т) "=" {\begin{cases} 1 Н, & т "=" 0 \\ 0 Н, & в противном случае \end{cases}

$F(t) = \begin{cases} 1\,\rm N, & t=0 \\ 0\,\rm N, & \text{otherwise} \end{cases}$

тогда ничего не происходит, потому что

\int Ф (т) д т "=" 0

$\int F(t)\,\text dt=0$

Таким образом, ваш номер 1 действительно подходит для того, что вы предлагаете. Причина, по которой это, вероятно, вам не подходит, заключается в том, что никакая сила не является действительно мгновенной, а дельта-функции Дирака на самом деле являются просто идеализацией, чтобы математические расчеты работали хорошо. На самом деле у нас будет что-то вроде $F(t)=F_0\cdot g(t)$ , где $g(t)$ является своего рода конечной функцией, которая принимает форму тонкого пика.

Акшат Шарма · Answer 2

Я думаю, вы, по сути, говорите об импульсе. Вы правы, что $\int_0^t F(u)du$ будет равно нулю, если сила приложена на мгновение, но любая реальная сила приложена по крайней мере некоторое время, и поэтому интеграл не может быть равен нулю. Однако она может быть очень маленькой, как в вашем случае, когда сила не очень велика.

То же самое и с ускорением, поэтому ускорение, соответствующее этой силе, будет иметь очень маленький, но конечный интеграл по времени, т.е. $\Delta v = \int_0^t a(u)du \neq 0$ . После приложения силы ускорение будет равно нулю, поэтому скорость будет постоянной (а не ускорение). Точная скорость объекта будет зависеть от интеграла $\int_0^t a(u)du$ . Обычно более полезной формулой в этих случаях является не интеграл, вычисляемый явно, а через средние значения,

\int_{0}^{т} ф (ты) д ты "=" ф_{а в г} Δ т

$\int_0^t f(u)du = f_{avg}\Delta t$ .

Для получения дополнительной информации вы можете прочитать статью об импульсе в Википедии .

Спасибо! Только один уточняющий вопрос: вы говорите, что среднее значение является более полезной величиной в этом случае, потому что сила применяется в течение слишком короткого периода времени, поэтому реальная глобальная траектория (? распределение? как бы вы это назвали?) силы $F(u), 0 \le u \le t$ не так информативно?

Джон Алексиу · Answer 3

Скорость — это интеграл ускорения по времени, и если ваша кривая ускорения имеет конечное значение при $t=0$ и ноль, в противном случае площадь под кривой равна нулю. Это означает, что ваша первая интерпретация верна, и тело не будет двигаться.

Правило, которое нужно запомнить:

Δ (импульс) "=" (импульс)

$\Delta \text{(momentum)} = \text{(impulse)}$

Изменение импульса равно импульсу. А импульс определяется как площадь под кривой силы

Дж "=" \int Ф д т

$J = \int F\,{\rm d}t$

Короче говоря, если конечная сила применяется за бесконечно малое время, то результат равен нулю.

Δ (импульс) "=" \underset{ϵ \to 0}{лим} \int_{0}^{ϵ} Ф д т "=" \underset{ϵ \to 0}{лим} Ф (ϵ - 0) "=" 0

$\Delta \text{(momentum)} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_0^\epsilon F \, {\rm d}t = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} F (\epsilon - 0) = 0$

Только если сила конечна в течение конечного времени, есть наблюдаемый эффект. Только когда $J = F \Delta t$ , у нас есть

Δ (м в) "=" Дж "=" Ф Δ т \Rightarrow м Δ в "=" Ф Δ т \Rightarrow Δ в "=" \frac{Ф}{м} Δ "=" а Δ т

$\Delta (m v) = J = F \Delta t \Rightarrow m \Delta v = F \Delta t \Rightarrow \Delta v = \tfrac{F}{m} \Delta = a\, \Delta t$

Но если вы хотите предположить, что это событие происходит за бесконечно малое время $\Delta t \rightarrow 0$ , вы должны сделать силу неосознанно большой $F \rightarrow \infty$ так что с помощью математических ухищрений вы получите

Дж "=" \int Ф д т > 0

$J = \int F \,{\rm d}t > 0$

Ваш ответ вместе с ответом @BioPhysicist, похоже, предполагает, что, хотя математическая идеализация позволяет определить силу по мере Дирака ( $F_0$ N на точечную массу в $t=0$ ), сила по своей природе (?) определяется мерой Лебега. Таким образом, для того, чтобы реалистическое непрерывное приближение «дискретной силы» имело такое же влияние с точки зрения импульса, сила в ее естественном определении должна быть чрезвычайно большой. Здесь я думаю о непрерывном приближении $F(t) = F_0 g_{\epsilon}(t)$ где $g_{\epsilon}(t) > 0$ на $0 < t < \epsilon$ и (продолжение)
(продолжение) $\int_0^{\epsilon} g_{\epsilon}(t) dt = 1$ для всех $\epsilon > 0$ . Это сделало бы $F(t)$ сколь угодно большой в некоторых $t$ для сколь угодно малого $\epsilon$ но импульс один и тот же в обоих случаях: $\int F_0 d\delta(t) = \int F(t) dt = F_0$ . Я правильно понимаю суть?
Это было полезно, спасибо! Оглядываясь назад, я думаю, что это была точка зрения @BioPhysicist. Думаю, моему мозгу просто понадобился дополнительный ввод, чтобы полностью понять. Ваше дополнение было очень ценным, но, поскольку оно материально эквивалентно, я приму другой ответ в качестве ответа ради порядка времени.

F=maF=maF = ma и мгновенная сила

xqst

Филип

xqst

Джон Алексиу

Ответы (3)

Биофизик

Акшат Шарма

xqst

Джон Алексиу

xqst

xqst

Джон Алексиу

xqst

Почему качели (качели) склоняются к более тяжелому концу?

Вид силы ma⃗ ma→m\vec{a}

Сила без ускорения

Ускорение ракеты при запуске

Сила как изменение импульса по сравнению с изменением скорости

Масса и второй закон Ньютона

Почему второй закон Ньютона F=maF=maF=ma и как Ньютон «открыл его»? [дубликат]

Для безмассового шкива, движущегося вверх с ускорением, равна ли направленная вверх сила направленной вниз силе?

Почему ускорение из-за результирующей силы зависит от массы, а ускорение из-за силы тяжести - нет?

Как может быть вес без движения? [дубликат]