Фактор симметрии в теории ϕ4ϕ4\phi^4

У меня возникли проблемы, пытаясь понять, что такое фактор симметрии диаграммы Фейнмана на самом деле. Из книг я понял, что это геометрический фактор, который вы получаете количеством способов, которыми вы можете деформировать внутренние линии диаграммы так, чтобы она выглядела одинаково. То есть, я так понимаю, это не имеет ничего общего ни с количеством сжатий, приводящих к одной и той же топологии (теорема Вика), ни с$4!$фактор Лагранжиана, ни с$n!$фактор расширения серии Dyson и так далее.

Однако, когда я вижу здесь некоторые обсуждения, они, похоже, не учитывают этот геометрический фактор. Я дам вам резюме этого обсуждения :

Краткое содержание

Рассмотрим лагранжиан реального скалярного поля, заданный формулой

$$\mathcal L = \frac{1}{2} (\partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4$$

Если не учитывать вклад улиток, единственная диаграмма, вносящая вклад в$\langle p_4 p_3 | T (\phi(y)^4 \phi(x)^4) | p_1 p_2 \rangle$в одном цикле находится так называемый динозавр:

Начнем с внешних ног слева. Существует восемь возможных мест для присоединения первой верхней левой внешней ноги: она может прикрепляться к одному из четырех возможных мест.$\phi_x$поля, либо к одному из четырех возможных$\phi_y$поля. В этом случае нижняя левая внешняя нога имеет только три варианта, поскольку, если первая нога прикреплена к$\phi_x$поле, эта нога также должна быть прикреплена к$\phi_x$поле и аналогично для$\phi_y$. Таким образом, присоединение этих ножек дает коэффициент$2\times 4\times 3$.

Теперь давайте сделаем ноги справа. Если ноги слева прикреплены к$\phi_x$, ноги справа должны быть прикреплены к$\phi_y$, и наоборот. Таким образом, есть только четыре варианта для верхнего правого внешнего участка и три варианта для верхнего левого внешнего участка. Таким образом, присоединение этих ножек дает коэффициент$4\times 3$.

Наконец, давайте прикрепим внутренние ножки. У первой ноги есть два места для крепления, а у второй только одно. Таким образом, мы получаем коэффициент$2$.

В целом, серия Dyson дает нам$\frac{1}{2!}$, а вершины дают нам$\frac{1}{4!4!}$, поэтому фактор симметрии равен

$$\frac{2\times 4 \times 3\times 4\times 3\times 2}{2!4!4!}=\frac{1}{2}$$

Конец резюме

Здесь Джахан Клаес принимает во внимание$\frac{1}{(4!)^2}$множитель из двух вершин; в$\frac{1}{2!}$фактор из экспоненциального расширения Дайсона, который уравновешивается с$2!$от смены ролей двух вершин; в$4\times 3 \times 4 \times 3$от сокращений наружных ног с полями; и дополнительный$2$от сокращений внутренних полей.

Должны ли мы также разделить это на 2, чтобы учесть перестановку внутренних линий, ведущих к одной и той же диаграмме?

Если это так, то почему мы должны отбрасывать одну из этих повторяющихся диаграмм? Не означает ли это, что такого рода диаграммы вносят больший вклад, чем другие диаграммы, в которых нет такого геометрического фактора?