Правила Фейнмана для двух разных взаимодействующих полей

Question

Правила Фейнмана для двух разных взаимодействующих полей

Физика
диаграммы фейнмана
квантовая теория поля
корреляционные функции
домашнее задание и упражнения

Чарли

В настоящее время я изучаю, как вывести правила Фейнмана для общих теорий, и мне удалось вывести их для $\phi^3$ и $\phi^4$ теории. До сих пор я рассматривал одно и то же поле для всех случаев и выводил правила Фейнмана, расширяя взаимодействующий член в корреляторе и используя теорему Вика для выполнения сокращений.

У меня вопрос: если мы рассмотрим взаимодействующую теорию для двух разных полей, как мы можем вывести правила Фейнмана из теоремы Вика. Рассмотрим, например, распад частицы, определяемый взаимодействующим лагранжевым членом

л_{я н т} "=" - λ Φ ф^{2}

$L_\mathrm{int}=-\lambda\Phi\phi^2$

Мы видим непосредственно, что он имеет только вершины с 3 линиями. Если я расширим экспоненту, которая обычно получается из этого:

опыт (- я λ \int д^{4} у Φ ф^{2}) "=" 1 + (я λ) \int д^{4} у Φ_{у} ф_{у}^{3} + (я λ)^{2} \int д^{4} у_{1} д^{4} у_{4} Φ_{у 1} ф_{у 1}^{3} Φ_{у 2} ф_{у 2}^{3} + . . .

$\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2)=1+(i\lambda)\int d^4y\Phi_y\phi_y^3+(i\lambda)^2\int d^4y_1d^4y_4\ \Phi_{y1}\phi_{y1}^3\Phi_{y2}\phi_{y2}^3+...$

Однако я не уверен, какие условия я должен написать для корреляторов. Для простоты рассмотрим коррелятор с двумя частицами:

⟨ Ом | Т [ф_{1} ф_{2}] | Ом ⟩ "=" \underset{Т \to \infty}{лим} \frac{⟨ 0 | Т [ф_{1} ф_{2} опыт (- я λ \int д^{4} у Φ ф^{2})] | 0 ⟩}{⟨ 0 | опыт (- я λ \int д^{4} у Φ ф^{2}) | 0 ⟩}

$\langle \Omega |T[\phi_1\phi_2]|\Omega\rangle=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{\langle 0 |T[\phi_1\phi_2 \exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2)]|0\rangle}{\langle 0 |\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2)|0\rangle}$

Давайте сосредоточимся на числителе, который может быть:

Н ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}) "=" ⟨ 0 | ф_{Икс 1} ф_{Икс 2} опыт (- я λ \int д^{4} у Φ ф^{2}) | 0 ⟩

$N(x_1,x_2)=\langle 0 | \phi_{x1}\phi_{x2}\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2) | 0 \rangle$

Или это может быть:

Н ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}) "=" ⟨ 0 | ф_{Икс 1} Φ_{Икс 2} опыт (- я λ \int д^{4} у Φ ф^{2}) | 0 ⟩

$N(x_1,x_2)=\langle 0 | \phi_{x1}\Phi_{x2}\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2) | 0 \rangle$

Или даже это может быть:

Н ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}) "=" ⟨ 0 | Φ_{Икс 1} Φ_{Икс 2} опыт (- я λ \int д^{4} у Φ ф^{2}) | 0 ⟩

$N(x_1,x_2)=\langle 0 | \Phi_{x1}\Phi_{x2}\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2) | 0 \rangle$

Какой из них я должен рассмотреть для расширения?

проф. Леголасов

Это помогает думать о ваших полях как об элементах скалярного мультиплета (вектор-столбец 2d). Тогда вы получите обычную кубическую теорию, но с массой и взаимодействием, замененными матрицами. Это был намек. Ответ уже опубликован Accidental.

Чарли

На самом деле это интересная идея, и когда я вижу их в таком виде, я действительно получаю отношения кубической теории. Я пытаюсь работать также с этим подходом.

Ответы (1)

Правила Фейнмана для двух разных взаимодействующих полей

Это помогает думать о ваших полях как об элементах скалярного мультиплета (вектор-столбец 2d). Тогда вы получите обычную кубическую теорию, но с массой и взаимодействием, замененными матрицами. Это был намек. Ответ уже опубликован Accidental.
На самом деле это интересная идея, и когда я вижу их в таком виде, я действительно получаю отношения кубической теории. Я пытаюсь работать также с этим подходом.

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Все три выражения верны, но они представляют разные объекты. Первый представляет (числитель) корреляционную функцию

⟨ 0 | Т {ф ({Икс}_{1}), ф ({Икс}_{2})} | 0 ⟩,

$\langle0|\mathrm T\{\color{red}{\phi}(x_1),\color{red}{\phi}(x_2)\}|0\rangle,$ второй (числитель) корреляционной функции

⟨ 0 | Т {ф ({Икс}_{1}), Φ ({Икс}_{2})} | 0 ⟩,

$\langle0|\mathrm T\{\color{red}{\phi}(x_1),\color{blue}{\Phi}(x_2)\}|0\rangle,$ и третья (числитель) корреляционная функция

⟨ 0 | Т {Φ ({Икс}_{1}), Φ ({Икс}_{2})} | 0 ⟩ .

$\langle0|\mathrm T\{\color{blue}{\Phi}(x_1),\color{blue}\Phi(x_2)\}|0\rangle.$

Эти три корреляционные функции имеют смысл. В теории возмущений, как отмечено в ОП, эти три объекта задаются выражением

\begin{aligned} ⟨ 0 | Т {ф ({Икс}_{1}), ф ({Икс}_{2})} | 0 ⟩ & "=" ⟨ \hat{0} | Т {\hat{ф} ({Икс}_{1}), \hat{ф} ({Икс}_{2}), опыт [я \int л_{я н т} (\hat{ф}, \hat{Φ})]} | 0 ⟩ \\ ⟨ 0 | Т {ф ({Икс}_{1}), Φ ({Икс}_{2})} | 0 ⟩ & "=" ⟨ \hat{0} | Т {\hat{ф} ({Икс}_{1}), \hat{Φ} ({Икс}_{2}), опыт [я \int л_{я н т} (\hat{ф}, \hat{Φ})]} | \hat{0} ⟩ \\ ⟨ 0 | Т {Φ ({Икс}_{1}), Φ ({Икс}_{2})} | 0 ⟩ & "=" ⟨ \hat{0} | Т {\hat{Φ} ({Икс}_{1}), \hat{Φ} ({Икс}_{2}), опыт [я \int л_{я н т} (\hat{ф}, \hat{Φ})]} | \hat{0} ⟩ \end{aligned}

$\begin{aligned} \langle0|\mathrm T\{\color{red}{\phi}(x_1),\color{red}{\phi}(x_2)\}|0\rangle&=\langle\hat0|\mathrm T\{\color{red}{\hat\phi}(x_1),\color{red}{\hat\phi}(x_2),\exp\left[ i\int L_{\mathrm{int}}(\color{red}{\hat\phi},\color{blue}{\hat\Phi})\right]\}|0\rangle\\ \langle0|\mathrm T\{\color{red}{\phi}(x_1),\color{blue}{\Phi}(x_2)\}|0\rangle&=\langle\hat0|\mathrm T\{\color{red}{\hat\phi}(x_1),\color{blue}{\hat\Phi}(x_2),\exp\left[ i\int L_{\mathrm{int}}(\color{red}{\hat\phi},\color{blue}{\hat\Phi})\right]\}|\hat0\rangle\\ \langle0|\mathrm T\{\color{blue}{\Phi}(x_1),\color{blue}\Phi(x_2)\}|0\rangle&=\langle\hat0|\mathrm T\{\color{blue}{\hat\Phi}(x_1),\color{blue}{\hat\Phi}(x_2),\exp\left[ i\int L_{\mathrm{int}}(\color{red}{\hat\phi},\color{blue}{\hat\Phi})\right]\}|\hat0\rangle \end{aligned}$ где шляпа представляет собой оператора изображения взаимодействия,

\hat{ψ} := U ψ U^{†}

$\hat\psi:=U\psi U^\dagger$ , с

ψ \in {ϕ, Φ}

$\psi\in\{\color{red}{\phi},\color{blue}\Phi\}$ и

| \hat{0} ⟩ = U | 0 ⟩

$|\hat0\rangle=U|0\rangle$ , а объекты без шапки — на картинке Гейзенберга (см. этот пост PSE ). (Я пренебрегаю знаменателями, чтобы сделать обозначения как можно более простыми; они не играют здесь важной роли).

Я вижу, тогда все правильно, но они представляют разные объекты (не беспокойтесь о знаменателе, я знаю, что в конце он просто отменяет так называемые вакуумные пузыри). Я разработал три объекта, но я не уверен, как вывести или представить из них правила Фейнмана, поскольку я заключаю контракты на два разных поля. Например, коррелятор для $\phi_{x1},\Phi_{x_2}$ , если я возьму второй порядок (так что все поля сокращаются как ненулевые), мы имеем: $-i\lambda\int d^4y_1 d^4y_2\langle 0 |\phi_{x1}\Phi_{x2}\Phi_{y1}\phi_{y1}\phi_{y1}\Phi_{y2}\phi_{y2}\phi_{y2}+...|0\rangle$ .
Первым нетривиальным сокращением будет (я представляю сокращения с супериндексами): $\phi_{x1}^a\Phi_{x2}^c\Phi_{y1}^a\phi_{y1}^b\phi_{y1}^b\Phi_{y2}^c\phi_{y2}^d\phi_{y2}^d$ . Это означает, что в обозначениях Фейнмана есть линия, соединяющая $x_1$ к $y_1$ , и петля в той же точке; то же самое происходит для $x_2$ , который соединяется с $y_2$ , и петля в этой же точке. Однако как я могу различать поля? Должен ли я ввести другую фигуру для каждой вершины?
Я думаю, что важно использовать последовательные обозначения. Лучше использовать $\phi,\Phi$ для полей Гейзенберга и $\hat\phi,\hat\Phi$ для полей интерактивных изображений. В частности, сокращения касаются последних, а не первых. При этом у человека есть $\overline{\hat\phi\hat\phi}=\Delta_\phi$ , $\overline{\hat\Phi\hat\Phi}=\Delta_\Phi$ , и $\overline{\hat\phi\hat\Phi}=0$ . Так что вы только контракт $\phi$ поля между собой и $\Phi$ поля между собой. Вы не заключаете контракт $\phi$ поля с $\Phi$ поля.
В стандартном обозначении используются сплошные линии для $\overline{\hat\phi\hat\phi}=\Delta_\phi$ , и пунктирные (или, скажем, волнистые) линии для $\overline{\hat\Phi\hat\Phi}=\Delta_\Phi$ . В вашей теории каждая вершина имеет две сплошные линии и одну пунктирную, потому что $L_\mathrm{int}$ имеет два фактора $\phi$ и один фактор $\Phi$ . (Возможно, вы найдете этот пост PSE полезным).
Ясно, тогда моя проблема заключалась в попытке сжать разные поля между собой. На самом деле я ожидал, что каждая вершина будет иметь две сплошные линии и одну пунктирную, как вы упомянули, но теперь я вижу, как это вывести. Спасибо, я попробую переделать корреляторы с учетом этого, и на этот раз это должно сработать.

Правила Фейнмана для двух разных взаимодействующих полей

Чарли

проф. Леголасов

Чарли

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

Чарли

Чарли

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

Чарли

Фактор симметрии для диаграмм Фейнмана в ϕ4ϕ4\phi^4-теории для nnn-точечной функции Грина

Фактор симметрии по теореме Вика

Однопетлевая диаграмма ϕ→ϕϕ→ϕ\phi \to \phi в теории gϕ3gϕ3g\phi^3

Верна ли диаграмма Фейнмана, изображающая вакуумный пузырь, «который становится реальным»?

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

Фактор симметрии в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Как вы доказываете, что L=I−V+1L=I−V+1L=I-V+1 в теории λϕ4λϕ4\lambda\phi^4?

Диаграммы головастиков в теории ϕ3ϕ3\phi^3

Об интерпретации диаграмм Фейнмана