Фейнмановская лекция Принцип наименьшего действия: замалчивается расширение Тейлора?

Его первоначальный одномерный вывод второго закона Ньютона с использованием принципа наименьшего действия я считаю довольно кратким и легко читаемым. Тем не менее, я зациклился на его использовании расширения ряда Тейлора, и я заметил эту цитату из его лекции:

Я написал В ′ для производной от В в отношении Икс чтобы не писать.

Вот как я прихожу к такому же разложению для потенциальной функции, В :

Икс "=" Икс _ + η

Где x - приблизительный путь, пройденный классической частицей, Икс _ это фактический путь, и η - ошибка (которая равна нулю в начальной и конечной точке). Расширяя первые два члена ряда Тейлора для V,

В ( η ) с е н т е р е г   о н   Икс _ ≈ В ( Икс _ ) + В ′ ( Икс _ ) ( η − Икс _ )

В ( η + Икс _ ) ≈ В ( Икс _ ) + В ′ ( Икс _ ) η

Неудивительно, что то же самое было отмечено в лекции. Я не буду доводить математику до конечного результата (это просто), но отмечу, что производная потенциальной функции V, оцененная при Икс _ отображается в конечном результате:

м Икс _ ¨ "=" − В ′ ( Икс _ )

И я ломал голову над этим много дней (слишком много дней). Исходная потенциальная функция должна была быть с аргументом η , с центром на фактическом пути, Икс _ . Это противоречит моему представлению о том, что потенциальный функционал должен зависеть только от положения в реальном пространстве. Это в значительной степени подразумевает, что,

м Икс _ ¨ "=" − г В г η | η "=" Икс _

Раскрывая силовую функцию следующим образом,

Ф "=" − г В г η | η "=" Икс _

Может кто-нибудь объяснить, что это значит? Почему силовая функция пропорциональна производной потенциальной функции относительно ошибки пути по сравнению с фактически выбранным путем?

↑ Связь?
Я думаю, что ваши обозначения могут быть обратными - обычно говорят, что приблизительный путь Икс это сумма истинного пути Икс _ и термин ошибки η .
Дж. Мюррей - вы правы, я перепутал запись. Я проверяю это, но не думаю, что это меняет математику. Потенциальная функция по-прежнему должна быть функцией ошибки, чтобы разложение Тейлора оказалось правильным.

Ответы (1)

Это одно из тех мест, где практически всегда полезная нотация может сбить вас с толку.

В является функцией. Он съедает одно вещественное число, а затем выдает другое вещественное число. В результате вы можете дифференцировать его относительно одного и только одного — его аргумента. Результатом является другая функция, которой мы даем связанное имя В ′ .

В ( Икс _ + η ) это число, а именно число, которое В выплевывает, когда вы кормите его числом Икс _ + η . Если В ведет себя достаточно хорошо и η достаточно мало, теорема Тейлора говорит нам, что В ( Икс _ + η ) можно аппроксимировать следующим образом:

В ( Икс _ + η ) ≈ В ( Икс _ ) + В ′ ( Икс _ ) ⋅ η

В словах,

Функция В оценивается по номеру Икс _ + η приблизительно равна функции В оценивается по номеру Икс _ , плюс η раз функция В ′ оценивается по номеру Икс _ .

Надеюсь, это не покажется вам слишком математическим и педантичным — я пытаюсь донести, что вы вводите себя в заблуждение, когда пишете г В г η | η "=" Икс _ . Не имеет смысла говорить о дифференциации В в отношении чего-либо, кроме его аргумента. В этом выражении η по сути является фиктивной переменной - она ​​означает то же самое, что и г В г у | у "=" Икс _ или г В г ⋆ | ⋆ "=" Икс _ .

Не нужно извинений за педантичность. Мой первоначальный вопрос педантичен и с математической точки зрения. Как η фиктивная переменная? Из разложения ясно, что V — степенная функция, главный аргумент которой равен η , центрируя функцию вблизи Икс _ . В ( η + Икс _ ) это просто функция со смещенным входом. Нет?
Изменить: форматирование. Извини за это
Мое замечание о η быть фиктивной переменной имело в виду нотацию г В г η | η "=" Икс _ . Я полагаю, что вы запутались в г ∙ г ∙ обозначение производных; если вы используете только «загрунтованную» нотацию, суть вашего вопроса испарится. Вы обнаружите, что м Икс ¨ _ "=" − В ′ ( Икс _ ) , что совершенно ясно, поскольку мы определяем В в первую очередь быть такой функцией, что − В ′ "=" Ф (сила есть отрицательная производная потенциальной энергии).
В моем понимании расширения Тейлора, В ′ ( Икс _ ) не является «производной от V, которая приводит к функции Икс _ ", а скорее "производная V (относительно что-нибудь ) оценивается по аргументу = Икс _ . Это суть моей проблемы здесь. Я не пытаюсь злоупотреблять обозначениями, кстати, я пытаюсь понять, с какой переменной мы берем производную от V. Это х? Это Икс _ ? η ? Интуиция подсказывает нам ответ, но я хотел бы, чтобы он был подтвержден математикой.
Видимо мне не хватает репутации для чата... Что я считаю глюком, потому что у меня здесь на Physics SE 74.
Фейнмановская лекция Принцип наименьшего действия: замалчивается расширение Тейлора?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v