Я читаю о лагранжевой механике.
В какой-то момент обсуждается разница между временной производной вариации и вариацией временной производной.
Тот факт, что это одно и то же, представлен в книге, которую я читаю, как правило, также упоминаются коммутативность и возможные некоммутативные правила.
Я не понимаю: указан путь и его вариация , эквивалентность вариации производной и производная от вариации мне кажется фактом, вытекающим прямо из исчисления, а не произвольным выбором.
Использованная литература:
Б. Д. Вуянович и Т. М. Атанакович, Введение в современные вариационные методы в механике и технике , (2004); стр.12.
К. Ланцош, Вариационные принципы механики.
Это следует из исчисления. Вот стандартный способ, которым это обрабатывается (я не буду подробно рассказывать о математических деталях, таких как предположения о гладкости).
Значение .
Учитывая параметризованный путь , рассмотрим деформацию пути, которую назовем удовлетворяющий . Параметр – параметр деформации. Теперь мы можем определить вариацию пути следующим образом:
Свойство коммутативности.
Теперь, когда мы определили , мы обращаемся к коммутативности а также -производные. Что ж, теперь, когда все предельно ясно, все довольно просто. Во-первых, мы должны отметить, что это другая кривая, чем , поэтому нам нужно определить его вариацию . Стандартный способ сделать это — вызвать это изменение, используя ту же самую деформацию. . А именно, мы определяем
Вопросы естественности.
В некотором смысле определения а также произвольны, но только в той мере, в какой любое определение всегда произвольно, потому что мы должны его выбрать. Они, однако, стандартны и довольно физически, если вы спросите меня.
Чтобы получить интуицию для , рассмотреть возможность , и представьте, что вы исправляете некоторые . Затем, когда мы меняемся , получаем кривую . Вариация является производной этой кривой по оценивается в , другими словами, это его касательный вектор в (думаю скорость). Этот касательный вектор просто указывает нам «направление», в котором исходная кривая меняется в точке когда мы применяем к нему деформацию. См. следующую диаграмму (надеюсь, она более ясна, чем то, что я только что сказал)
Вот еще один способ увидеть, что определение естественно, что также показывает, почему естественно. В классической механике мы часто рассматриваем систему, описываемую действием, являющимся интегралом локального лагранжиана;
Однако см. ответ Qmechanic ниже, в котором указывается, что в других контекстах, например, при использовании принципа Даламбера, варианты а также могут иметь не совсем то же значение, что и в контекстах, описанных выше, и в этих контекстах правило коммутативности может не выполняться.
I) Пункт исх. 1 аналогично тому, почему обобщенные позиции и обобщенные скорости в лагранжиане являются независимыми переменными, см., например, этот пост Phys.SE. Менее запутанным обозначением, вероятно, было бы обозначение обобщенных скоростей вместо .
Ссылка 1 относится к некоммутативной возможности
в контексте принципа Даламбера
куда являются позиции '-я точечная частица. Здесь а также являются бесконечно малыми виртуальными вариациями .
Логично допустить некоммутативное правило (1) в принципе Даламбера (2). (На самом деле принцип Даламбера в его основной форме (2) не зависит от .)
Принцип Даламбера (2) можно использовать, например, для доказательства центрального уравнения Лагранжа
и, в свою очередь, уравнения Лагранжа , не прибегая к принципу стационарного действия, ср. следующий Раздел II. Здесь кинетическая энергия и является обобщенной силой. См. Также, например , этот ответ Phys.SE. исх. 1 и 2 перепишем центральное уравнение Лагранжа (3) в следующем виде
см. уравнение (1.3.39) в работе. 1 или экв. (6.4.11) в работе. 2. Эта форма (4) также включает .
II) Приведенный выше раздел I следует противопоставить функционалу действия
и принцип стационарного действия . Здесь является (возможно, виртуальным) путем. Производная по времени зависит от функции .
Чтобы вывести уравнения Эйлера-Лагранжа из принципа стационарного действия, мы используем коммутативное правило
решающим образом. Коммутативное правило (4) в этом контексте не подлежит обсуждению, а следует непосредственно из соответствующих определений бесконечно малой виртуальной вариации
между двумя соседними путями а также .
Использованная литература:
Б. Д. Вуянович и Т. М. Атанакович, Введение в современные вариационные методы в механике и технике , (2004); стр.12.
А. И. Лурье, Аналитическая механика (Основы инженерной механики) , (2002); Раздел 1.7.
Натанаэль
пользователь37155
джошфизика