Принцип стационарного действия против уравнения Эйлера-Лагранжа

Я немного смущен тем, что я должен использовать для вывода уравнений движения из уравнения Лагранжа.

Предположим, у меня есть функция Лагранжа:

$$L(x(t), \dot{x}(t)) = \frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}k(\sqrt{x^2+a^2}-a)$$

Метод 1: Принцип наименьшего действия

$$\delta L = \delta \dot{x}(m\dot{x})-\delta x \frac{kx(\sqrt{x^2+a^2}-a)}{\sqrt(x^2+a^2)}$$

$$\delta W = \int_{t_0}^{t_1} \delta L \ dt$$

После интегрирования по частям получаю:

$$\delta W= -\int_{t_0}^{t_1} \delta x \biggl[m \ddot{x}+\frac{kx(\sqrt{x^2+a^2}-a)}{\sqrt(x^2+a^2)} \biggl] dt$$

для стационарных точек,$\delta W = 0$

Следовательно, внутри интеграла

$$m\ddot{x}+\frac{kx(\sqrt{x^2+a^2}-a)}{\sqrt(x^2+a^2)} = 0$$

и это уравнение движения.

Метод 2: уравнение Эйлера-Лагранжа

В качестве альтернативы мы можем рассмотреть уравнение Лагранжа Эйлера:

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\biggl(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \biggl) = 0$$

Заменив$L$в уравнение Эйлера-Лагранжа получаем то же самое уравнение движения:

$$m\ddot{x}+\frac{kx(\sqrt{x^2+a^2}-a)}{\sqrt(x^2+a^2)} = 0$$

Итак, метод 2 намного проще, чем метод 1, но почему мы приходим к одному и тому же ответу? У меня есть подозрение, что оба метода, по сути, вычисляют одно и то же, но я не уверен, что это предположение верно, потому что уравнения Эйлера-Лагранжа кажутся слишком простыми по сравнению с принципом наименьшего действия. Есть ли что-то, что мне здесь не хватает?