Как найти лагранжиан этой системы?

Question

Как найти лагранжиан этой системы?

Физика
классическая механика
лагранжев формализм
вариационное исчисление
вариационный принцип
дифференциальные уравнения

Шэнкай Ли

Я пытаюсь найти лагранжиан $L$ системы, которую я изучаю. Уравнения движения:

{\begin{array}{cl} р \ddot{ф} + 2 \dot{р} \dot{ф} + к (р) \cdot р \dot{р} \dot{ф} знак равно 0 \\ \ddot{р} - р {\dot{ф}}^{2} - к (р) \cdot р^{2} {\dot{ф}}^{2} знак равно 0 \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} r \ddot{\phi} + 2\dot{r} \dot{\phi}+k(r) \cdot r \dot{r} \dot{\phi} = 0\\ \ddot{r} - r \dot{\phi}^2 - k(r) \cdot r^2 \dot{\phi}^2 = 0 \end{array}\right.$

Я попробовал общий Анзац $L=L_1+L_2=\Sigma_{m,n,p,q} C_{m,n,p,q} r^m \dot{r}^n \phi^p \dot{\phi}^q+L_2(k(r))$ и подключили к уравнению Эйлера-Лагранжа, но вычисление оказалось чрезвычайно утомительным. Есть ли какой-то систематический способ найти его?

Буду очень признателен за любые подсказки. Спасибо!

Обновлять:

Немного переделав,

{\begin{array}{cl} \ddot{ф} + Ф (р) \dot{р} \dot{ф} знак равно 0 \\ \ddot{р} + грамм (р) {\dot{ф}}^{2} знак равно 0 \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} \ddot{\phi} + F(r) \dot{r} \dot{\phi}= 0\\ \ddot{r} +G(r) \dot{\phi}^2 = 0 \end{array}\right.$ куда

Ф (р) знак равно \frac{2}{р} + к (р), грамм (р) знак равно - (р + к (р) \cdot р^{2})

$\begin{equation} F(r)=\frac{2}{r} + k(r), \quad G(r)=-(r+k(r)\cdot r^2) \end{equation}$

Если мы предположим

л знак равно А (р) {\dot{р}}^{2} + Б (р) {\dot{ф}}^{2} + С (р) \dot{р} \dot{ф}

$L=A(r) \dot{r}^2 + B(r) \dot{\phi}^2 +C(r) \dot{r} \dot{\phi}$ (чтобы я мог легко получить метрику)

Затем

{\begin{array}{cl} л_{р} л знак равно 2 А \ddot{р} - Б_{р} {\dot{ф}}^{2} + С \ddot{ф} + А_{р} {\dot{р}}^{2} \\ л_{ф} л знак равно 2 Б \ddot{ф} + 2 Б_{р} \dot{р} \dot{ф} + С_{р} {\dot{р}}^{2} + С \ddot{р} \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} \mathscr{L}_r L = 2A \ddot{r} -B_r \dot{\phi}^2+C\ddot{\phi} +A_r \dot{r}^2\\ \mathscr{L}_\phi L = 2B \ddot{\phi} +2B_r \dot{r}\dot{\phi}+C_r\dot{r}^2 + C \ddot{r} \end{array}\right.$ куда

L_{q} L \equiv \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) - \frac{\partial L}{\partial q}

$\mathscr{L}_q L \equiv \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)-\frac{\partial{L}}{\partial{q}}$

По сравнению с EOM требуется

\frac{2 А}{1} знак равно \frac{- Б_{р}}{грамм (р)}, \frac{2 Б}{1} знак равно \frac{2 Б_{р}}{Ф (р)}, С знак равно 0, А_{р} знак равно 0

$\frac{2A}{1}= \frac{-B_r}{G(r)}, \quad \frac{2B}{1}=\frac{2B_r}{F(r)}, \quad C=0, \quad A_r=0$

Вроде нормально, за исключением $A_r=0$ конфликтует с остальными.

Qмеханик

Из любопытства, как вы получили EOM в первую очередь?

Шэнкай Ли

@Qmechanic, на самом деле они просто

a_{ϕ} + k (r) v_{r} v_{ϕ} = 0

$a_{\phi} + k(r) v_r v_{\phi} =0$ и

a_{r} - k (r) v_{ϕ}^{2} = 0

$a_r -k(r) v_{\phi}^2 = 0$ .

Футуролог

Могли ли они быть геодезическими уравнениями какой-то вращательно-инвариантной римановой метрики? Вращательно инвариантны, потому что они имеют группу симметрий с одним параметром.

ϕ \to ϕ + s

$\phi \to \phi + s$ . Этот коэффициент

k (r)

$k(r)$ может быть символом Кристоффеля?

Шэнкай Ли

@Futurologist, я немного попробовал вращательную инвариантность. Однако кажется, что некоторые конфликты существуют. Я обновил работу в описании. Я очень ценю ваше внимание.

Футуролог

@ShengkaiLi Хорошо, что вы решили уравнения. Может попробовать не ставить

C = 0

$C=0$ а затем просто примените обратную матрицу матрицы, образованной

A, B, C

$A, B, C$ к уравнениям. Вы получите более сложные коэффициенты с неизвестными функциями

A, B, C

$A, B, C$ . Возможно, это может сработать, но, конечно, нет никакой гарантии, если вы не попробуете.

Фробениус

Из комментария ОП кажется, что у нас есть движение точечной частицы под действием силы:

\begin{matrix} (com-01) & Ф знак равно м а знак равно м (а_{р} е_{р} + а_{ф} е_{ф}) знак равно м к (р) υ_{ф} (υ_{ф} е_{р} - υ_{р} е_{ф}) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{F} = m\mathbf{a}=m \left(a_r\mathbf{e}_{r}+a_\phi\mathbf{e}_{\phi}\right)= m k(r) \upsilon_{\phi}\left(\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{r}-\upsilon_r\mathbf{e}_{\phi}\right) \tag{com-01} \end{equation}$ всегда нормально к его скорости:

\begin{matrix} (com-02) & υ (т) знак равно \dot{р} е_{р} + р \dot{ф} е_{ф} знак равно υ_{р} е_{р} + υ_{ф} е_{ф} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}\left(t\right)=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+ r\dot{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi}=\upsilon_r\mathbf{e}_{r}+\upsilon_{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi} \tag{com-02} \end{equation}$ как магнитная сила, например.

Шэнкай Ли

@Frobenius Да, эта система сохраняет скорость. Хороший улов. Кроме того, азимутальное ускорение исчезает при точном движении внутрь или наружу (

v_{ϕ} = 0

$v_\phi = 0$ ). Означает ли это, что я должен иметь часть внешней силы в правой части уравнения Эйлера-Лагранжа?

Шэнкай Ли

@Futurologist О матрице, которую вы упомянули, вы имеете в виду матрицу

M

$M$ в

L = (\dot{r} \dot{ϕ}) M (\dot{r} \dot{ϕ})^{T}

$L=(\dot{r} \quad \dot{\phi}) M (\dot{r} \quad \dot{\phi})^T$ ?

Шэнкай Ли

@Frobenius Или построить поле векторного потенциала, как для заряженной частицы в магнитном поле?

Фробениус

@Shengkai Li Прошу прощения, но я продолжу завтра. Обратите внимание, что

\begin{matrix} (com-03) & \frac{Ф}{м} знак равно υ \times Б куда Б знак равно к (р) υ_{ф} е_{г} \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\mathbf{F}}{m}=\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \quad\text{where} \quad \mathbf{B}=k(r)\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{z} \tag{com-03} \end{equation}$

Космас Захос

Чтобы не отвлекать вас, но вы заметили

ϕ

$\phi$ отсутствует, так что вы могли бы также определить

θ \equiv \dot{ϕ}

$\theta\equiv\dot{\phi}$ и уравнение для него 1-го, а не второго порядка. Но лагранжиан для него может быть проблематичным.

Ответы (1)

Как найти лагранжиан этой системы?

Из любопытства, как вы получили EOM в первую очередь?
@Qmechanic, на самом деле они просто $a_{\phi} + k(r) v_r v_{\phi} =0$ и $a_r -k(r) v_{\phi}^2 = 0$ .
Могли ли они быть геодезическими уравнениями какой-то вращательно-инвариантной римановой метрики? Вращательно инвариантны, потому что они имеют группу симметрий с одним параметром. $\phi \to \phi + s$ . Этот коэффициент $k(r)$ может быть символом Кристоффеля?
@Futurologist, я немного попробовал вращательную инвариантность. Однако кажется, что некоторые конфликты существуют. Я обновил работу в описании. Я очень ценю ваше внимание.
@ShengkaiLi Хорошо, что вы решили уравнения. Может попробовать не ставить $C=0$ а затем просто примените обратную матрицу матрицы, образованной $A, B, C$ к уравнениям. Вы получите более сложные коэффициенты с неизвестными функциями $A, B, C$ . Возможно, это может сработать, но, конечно, нет никакой гарантии, если вы не попробуете.
Из комментария ОП кажется, что у нас есть движение точечной частицы под действием силы: $\begin{matrix} (com-01) & Ф знак равно м а знак равно м (а_{р} е_{р} + а_{ф} е_{ф}) знак равно м к (р) υ_{ф} (υ_{ф} е_{р} - υ_{р} е_{ф}) \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{F} = m\mathbf{a}=m \left(a_r\mathbf{e}_{r}+a_\phi\mathbf{e}_{\phi}\right)= m k(r) \upsilon_{\phi}\left(\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{r}-\upsilon_r\mathbf{e}_{\phi}\right) \tag{com-01} \end{equation}$ всегда нормально к его скорости: $\begin{matrix} (com-02) & υ (т) знак равно \dot{р} е_{р} + р \dot{ф} е_{ф} знак равно υ_{р} е_{р} + υ_{ф} е_{ф} \end{matrix}$ $\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}\left(t\right)=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+ r\dot{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi}=\upsilon_r\mathbf{e}_{r}+\upsilon_{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi} \tag{com-02} \end{equation}$ как магнитная сила, например.
@Frobenius Да, эта система сохраняет скорость. Хороший улов. Кроме того, азимутальное ускорение исчезает при точном движении внутрь или наружу ( $v_\phi = 0$ ). Означает ли это, что я должен иметь часть внешней силы в правой части уравнения Эйлера-Лагранжа?
@Futurologist О матрице, которую вы упомянули, вы имеете в виду матрицу $M$ в $L=(\dot{r} \quad \dot{\phi}) M (\dot{r} \quad \dot{\phi})^T$ ?
@Frobenius Или построить поле векторного потенциала, как для заряженной частицы в магнитном поле?
@Shengkai Li Прошу прощения, но я продолжу завтра. Обратите внимание, что $\begin{matrix} (com-03) & \frac{Ф}{м} знак равно υ \times Б куда Б знак равно к (р) υ_{ф} е_{г} \end{matrix}$ $\begin{equation} \dfrac{\mathbf{F}}{m}=\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \quad\text{where} \quad \mathbf{B}=k(r)\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{z} \tag{com-03} \end{equation}$
Чтобы не отвлекать вас, но вы заметили $\phi$ отсутствует, так что вы могли бы также определить $\theta\equiv\dot{\phi}$ и уравнение для него 1-го, а не второго порядка. Но лагранжиан для него может быть проблематичным.

Эли · Answer 1

Мы хотим найти метрику для этих уравнений:

\begin{aligned} \ddot{ф} + Ф (р) \dot{ф} \dot{р} знак равно 0 & (1) \\ \ddot{р} + грамм (р) {(\dot{ф})}^{2} знак равно 0 & (2) \end{aligned}

$\begin{align*} &\ddot{\varphi} +F(r)\,\dot{\varphi}\,\dot{r}=0&(1) \\ &\ddot{r} +G(r)\,\left(\dot{\varphi}\right)^2=0&(2) \end{align*}$

Theory

$\textbf{Theory}$

Уравнения движения: (Я использую метод НЬЮТОНА ЭЙЛЕРА)

\begin{aligned} {Дж}^{Т} Дж \ddot{\vec{д}} знак равно - {Дж}^{Т} \frac{\partial (Дж \dot{\vec{д}})}{\partial \vec{д}} \dot{\vec{д}} + {Дж}^{Т} \vec{ф_{а}} & (3) \end{aligned}

$\begin{align*} &J^T J \,\ddot{\vec{q}} =- J^T\,\frac{\partial\left( J\,\dot{\vec{q}}\right)}{\partial\vec{q}}\,\dot{\vec{q}}+J^T\,\vec{f_a}&(3)\\ \end{align*}$ С вектором

\vec{q}

$\vec{q}$ обобщенных координат:

\begin{aligned} \vec{д} знак равно [\begin{matrix} ф \\ р \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \vec{q}= \begin{bmatrix} \varphi \\ r \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ , Матрица Якоби (Анзац):

\begin{aligned} Дж & знак равно [\begin{matrix} р & 0 \\ ф & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} J&= \begin{bmatrix} r & 0 \\ \varphi & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ и вектор

\vec{f_{a}}

$\vec{f_a}$ внешних сил (Анзац):

\begin{aligned} \vec{ф_{а}} знак равно [\begin{matrix} 0 \\ - \frac{ф}{р} \dot{ф} \dot{р} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \vec{f_a}= \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{\varphi}{r}\,\dot{\varphi}\,\dot{r} \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ Получаем уравнение движения (с (3)):

\begin{aligned} \ddot{ф} + \frac{1}{р} \dot{ф} \dot{р} знак равно 0 & (4) \\ \ddot{р} + {(\dot{ф})}^{2} знак равно 0 & (5) \end{aligned}

$\begin{align*} &\ddot{\varphi} +\frac{1}{r}\,\dot{\varphi}\,\dot{r}=0& (4)\\ &\ddot{r} +\left(\dot{\varphi}\right)^2=0&(5) \end{align*}$ Сравнивая коэффициенты уравнения (1) с (4) и (2) с (5) получаем:

\begin{aligned} Ф (р) & знак равно \frac{2}{р} + к_{1} (р) \overset{!}{знак равно} \frac{1}{р} \Rightarrow к_{1} (р) знак равно - \frac{1}{р} \\ грамм (р) & знак равно - (р + к_{2} (р) р^{2}) \overset{!}{знак равно} 1 \Rightarrow к_{2} (р) знак равно - \frac{р + 1}{р^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} F(r) & =\frac{2}{r}+k_1(r)\overset{!}{=}\frac{1}{r} \,\Rightarrow\quad k_1(r)=-\frac{1}{r}\\ G(r) &=-\left(r+k_2(r)\,r^2\right)\overset{!}{=}1\,\Rightarrow\quad k_2(r)=-{\frac {r+1}{{r}^{2}}} \end{align*}$ Для выполнения уравнений (1) и (2) я должен взять две функции

k_{1} (r)

$k_1(r)$ и

k_{2} (r)

$k_2(r)$ .

$\textbf{Metric}:$

\begin{aligned} грамм знак равно {Дж}^{Т} Дж знак равно [\begin{matrix} р^{2} + ф^{2} & ф \\ ф & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} &g=J^T\,J= \begin{bmatrix} r^2+\varphi^2 & \varphi \\ \varphi & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

Спасибо! Это интересно $k(r)$ ограничены, чтобы заставить работать анзац.

Как найти лагранжиан этой системы?

Шэнкай Ли

Qмеханик

Шэнкай Ли

Футуролог

Шэнкай Ли

Футуролог

Фробениус

Шэнкай Ли

Шэнкай Ли

Шэнкай Ли

Фробениус

Космас Захос

Ответы (1)

Эли

Шэнкай Ли

Фейнмановская лекция Принцип наименьшего действия: замалчивается расширение Тейлора?

Почему мы можем считать конечную точку фиксированной при выводе уравнения Эйлера-Лагранжа в механике?

Лагранжева механика — правило коммутативности ddtδq=δdqdtddtδq=δdqdt\frac{d}{dt}\delta q=\delta \frac{dq}{dt}

Принцип стационарного действия против уравнения Эйлера-Лагранжа

Независимость положения и скорости в лагранжиане с точки зрения физики? [дубликат]

Представляет ли интеграл в формуле действия относительно принципа стационарного действия площадь или длину?

Вариационное исчисление — как имеет смысл независимо изменять положение и скорость?

Зависимость лагранжиана свободной частицы от времени?

Вариант Швингера действия точечной частицы с и временем и положением в качестве независимых переменных

Возможно ли, чтобы SSS действия не имела стационарную точку?