Интеграл свободного пути частицы Частота Мацубары

Question

Интеграл свободного пути частицы Частота Мацубары

ДКС

я пытаюсь вычислить

Z "=" \int_{ф (β) "=" ф (0) "=" 0} Д ф е^{- \frac{1}{2} \int_{0}^{β} г т {\dot{ф}}^{2}}

$Z = \int\limits_{\phi(\beta) = \phi(0) =0} D \phi\ e^{-\frac{1}{2} \int_0^{\beta} d\tau \dot{\phi}^2}$ не преобразовывая его в частотное пространство Мацубары , я могу показать, что

Z = \sqrt{\frac{1}{2 π β}}

$Z = \sqrt{\frac{1}{2\pi \beta}}$ . Однако у меня есть проблема с получением того же результата в частотном пространстве Мацубары:

ф (т) "=" \frac{1}{\sqrt{β}} (\sum_{н} ф_{н} е^{я ю_{н} т}),

$\begin{equation} \phi (\tau) = \frac{1}{\sqrt{\beta}} \left( \sum_{n} \phi_n \ e^{i\omega_n\tau} \right), \end{equation}$ с

\sum_{n} ϕ_{n} = 0, ω_{n} = \frac{2 π n}{β}

$\sum_n \phi_n =0, \omega_n = \frac{2\pi n}{\beta}$ . И

Z "=" \int \prod_{н} Д ф_{н} дельта (\sum_{н} ф_{н}) е^{- \frac{1}{2} \sum_{н} ф_{н} ф_{- н} ю_{н}^{2}}

$\begin{equation} Z = \int \prod_n D\phi_n\ \delta\left(\sum_n \phi_n\right)\ e^{-\frac{1}{2} \sum_n \phi_n \phi_{-n} \omega_n^2 } \end{equation}$ который, я думаю, исчезает.

Думаю, проблема в мере. Любые комментарии?

Информация: здесь я пишу вывод Шульмана в мнимом времени.

\begin{array}{rcl} Z & "=" & \int_{ф (0) "=" ф (β) "=" 0} Д ф (т) е^{- \frac{1}{2} \int_{0}^{β} г т {\dot{ф}}^{2}} \\ "=" & {лим}_{Н \to \infty} (\frac{1}{2 π ϵ})^{(Н + 1) / 2} \int г ф_{1} \dots г ф_{Н} е^{- \frac{1}{2 ϵ} \sum_{я "=" 0}^{Н} (ф_{я + 1} - ф_{я})^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} Z &=& \int\limits_{\phi(0) =\phi(\beta) = 0} D\phi(\tau) e^{-\frac{1}{2}\int_0^{\beta}d\tau\dot{\phi}^2}\\ &=& \text{lim}_{N \rightarrow \infty} (\frac{1}{2\pi \epsilon})^{(N+1)/2} \int d\phi_1 \dots d\phi_N e^{-\frac{1}{2\epsilon} \sum_{i =0}^N (\phi_{i+1} -\phi_i)^2} \end{eqnarray}$

Тогда мы можем использовать тождество

\int_{- \infty}^{\infty} г ты \sqrt{\frac{а}{π}} е^{- а (Икс - ты)^{2}} \sqrt{\frac{б}{π}} е^{- б (ты - у)^{2}} "=" \sqrt{\frac{а б}{π (а + б)}} е^{- \frac{а б}{а + б} (Икс - у)^{2}}

$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} du \sqrt{\frac{a}{\pi}} e^{-a(x-u)^2}\sqrt{\frac{b}{\pi}} e^{-b(u -y)^2} = \sqrt{\frac{ab}{\pi(a+b)}} e^{-\frac{ab}{a+b}(x-y)^2} \end{equation}$ оценить сумму, которая будет

Z "=" \sqrt{\frac{1}{2 π β}} .

$\begin{equation} Z = \sqrt{\frac{1}{2\pi \beta}}. \end{equation}$

Ответы (1)

Интеграл свободного пути частицы Частота Мацубары

Qмеханик · Answer 1

I) Евклидов интеграл по путям с $\hbar=1$ читает

\begin{matrix} (1) & Z "=" \int_{Д Б С} Д Икс е^{- С}, \end{matrix}

$Z~=~\int_{DBC} \!{\cal D}x ~e^{-S},\tag{1}$

с граничными условиями Дирихле (DBC)

\begin{matrix} (2) & Икс (0) "=" 0 "=" Икс (Т) . \end{matrix}

$x(0)~=~0~=~x(T).\tag{2}$

Разложим реальную периодическую переменную $x\in\mathbb{R}$ в ряд Фурье $^1$

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} Икс (т) "=" & \frac{а_{0}}{2} + \sum_{н е Н} {а_{н} потому что (ю_{н} т) + б_{н} грех (ю_{н} т)} \\ "=" & \sum_{н е Z} с_{н} е^{я ю_{н} т}, \\ ю_{н} "=" & \frac{2 π н}{Т}, а_{н}, б_{н} е р, \\ с_{н} е & С, с_{н}^{*} "=" с_{- н} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} x(t) ~=~&\frac{a_0}{2}+\sum_{n\in\mathbb{N}} \left\{a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)\right\}\cr ~=~& \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n e^{i\omega_n t}, \cr \omega_n~:=~&\frac{2\pi n}{T},\qquad a_n,b_n~\in~ \mathbb{R},\cr c_n~\in~& \mathbb{C}, \qquad c_n^{\ast}~=~c_{-n}. \end{align} \tag{3}$

DBC (2) становится

\begin{matrix} (4) & \sum_{н е Z} с_{н} "=" 0 \Leftrightarrow с_{0} "=" - 2 р е \sum_{н е Н} с_{н} . \end{matrix}

$\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n~=~0\qquad\Leftrightarrow\qquad c_0 ~=~ -2{\rm Re}\sum_{n\in\mathbb{N}}c_n .\tag{4}$

Действие для свободной нерелятивистской точечной частицы с массой $m=1$ читает:

\begin{matrix} (5) & С "=" \frac{1}{2} \int_{0}^{Т} г т {\dot{Икс}}^{2} "=" Т \sum_{н е Н} ю_{н}^{2} | с_{н} |^{2} . \end{matrix}

$S~=~\frac{1}{2} \int_0^T \!dt~ \dot{x}^2~=~T\sum_{n\in\mathbb{N}}\omega_n^2 |c_n|^2 . \tag{5}$

II) Мы знаем, что правильная нормировка интеграла по траекториям (1) есть

\begin{matrix} (6) & Z "=" \frac{1}{\sqrt{2 π Т}} . \end{matrix}

$Z~=~\frac{1}{\sqrt{2 \pi T}}.\tag{6}$

Это можно, например, вывести (без введения поддельных факторов!) из (полу)группового свойства интегралов по путям Фейнмана, ср. этот пост Phys.SE и ссылки в нем. До сих пор мы просто повторяли то, что ОП написал в своем вопросе.

III) Теперь мы хотели бы повторить тот же расчет, используя ряды Фурье, т.е. работать с мацубаровскими частотами. В этом ответе мы не будем исследовать свойство (полу)группы, а просто проведем быстрый и грязный расчет с использованием различных факторов выдумки и посмотрим, что мы получим. Поскольку это домашнее задание, объяснение будет несколько кратким.

Чтобы придать эвристический смысл интегралу по путям (1), мы будем использовать следующие правила регуляризации дзета-функции :

\begin{matrix} (7) & \prod_{н е Н} а "=" \frac{1}{\sqrt{а}} и \prod_{н е Н} н "=" \sqrt{2 π}, \end{matrix}

$\prod_{n\in\mathbb{N}} a ~=~\frac{1}{\sqrt{a}} \quad\text{and}\quad \prod_{n\in\mathbb{N}} n ~=~\sqrt{2\pi}, \tag{7}$

исходя из значений дзета-функции

\begin{matrix} (8) & ζ (0) "=" - \frac{1}{2} и ζ^{'} (0) "=" - п \sqrt{2 π}, \end{matrix}

$\zeta(0)~=~-\frac{1}{2} \quad\text{and}\quad \zeta^{\prime}(0)~=~-\ln\sqrt{2\pi} , \tag{8}$ соответственно. Пусть теперь мера интеграла по путям будет

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} Д Икс "=" & дельта (Б \sum_{н е Z} с_{н}) А г с_{0} \prod_{н е Н} А^{2} г^{2} с_{н} \\ \overset{(7)}{"="} & \frac{1}{Б} дельта (\sum_{н е Z} с_{н}) г с_{0} \prod_{н е Н} г^{2} с_{н}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal D}x~:=~&\delta\left(B\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n\right) A\mathrm{d} c_0 \prod_{n\in\mathbb{N}} A^2 \mathrm{d}^2c_n \cr ~\stackrel{(7)}{=}~&\frac{1}{B}\delta\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n\right) \mathrm{d} c_0 \prod_{n\in\mathbb{N}} \mathrm{d}^2c_n , \end{align}\tag{9}$

где $A$ , $B$ являются фальшивыми факторами. Интересно, что экв. (9) не зависит от $A$ -фадж фактор! После интегрирования дельта-функции и интегралов Гаусса находим

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} Z "=" & \frac{1}{Б} \prod_{н е Н} \frac{π}{Т ю_{н}^{2}} \\ "=" & \frac{1}{Б} \prod_{н е Н} \frac{Т}{4 π н^{2}} \\ \overset{(7)}{"="} & \frac{1}{Б \sqrt{π Т}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Z~=~&\frac{1}{B} \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\pi}{T\omega_n^2}\cr ~=~&\frac{1}{B} \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{T}{4\pi n^2}\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&\frac{1}{B\sqrt{\pi T}}. \end{align}\tag{10}$

Видимо, мы должны выбрать фактор выдумки $B=\sqrt{2}$ для достижения правильной нормализации (6).

--

$^1$ Обратите внимание, что синусоидальные (косинусные) моды (3) тривиально (нетривиально) соответствуют четным (нечетным) модам в моем ответе Phys.SE здесь соответственно.

эмм, это не ответит на вопрос оператора в комментарии: если $\prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{T}{4\pi n^2}$ уже сходится (к 0), почему нам все еще нужно регуляризировать?
В статистической физике статистическая сумма $0<Z<\infty$ является явно положительной величиной. Другими словами, логарифм $\ln Z\in\mathbb{R}$ должно быть конечной величиной. (в частности, получение $Z=0$ является нефизически неправильным результатом, и в некотором смысле так же плохо, как получение $Z=\infty$ и верный признак того, что необходима регуляризация (и, возможно, перенормировка ).)
Другое дело, я думаю, интерпретация $\prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{T}{4\pi n^2}$ как $\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{T}{4\pi n^2}$ уже является регуляризацией, т.е. решеточной регуляризацией, $\omega_n=\frac{2\pi n}{\beta}, n=0, \pm 1, \pm2,\ldots\pm \frac{N}{2}$ , где $N=\frac{\beta}{\epsilon}$ , и в такой регуляризации $Z$ буквально равно $\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{T}{4\pi n^2}=0$
@Qmechanic Я прочитал твой ответ. Спасибо. Поскольку я не знаком с методом, который вы используете, я могу только сказать, что он может решить проблему. Но я не ожидал, что эта проблема окажется сложным академическим вопросом.
Регуляризация отсечки $\prod_{n=1}^N \frac{T}{4\pi n^2}$ также нуждается в перенормировке, т.е. вставке контртермов.

Интеграл свободного пути частицы Частота Мацубары

ДКС

Ответы (1)

Qмеханик

Цзя Иян

Qмеханик

Цзя Иян

ДКС

Qмеханик

Почему нет аномалии, когда механика частиц квантована?

Можем ли мы получить диаграммы Фейнмана, используя представление континуального интеграла бесконечным рядом?

Представление спектра течений Дирака

Определитель оператора Даламбера □−m2◻−m2\mathop\Box-m^{2}

Вывод равенства δϕ(x)|0⟩\frac{\delta\Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ дельта\фи(х)}|0\угол?

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Как вывести эту сумму Мацубары, представленную в Википедии?

Как выполняется функциональный интеграл по импульсу в случае вещественного скалярного поля?

Дельта-функционал в континуальном интеграле

Если интегралы по траекториям не определены, как они могут иметь физический смысл?