Можем ли мы получить диаграммы Фейнмана, используя представление континуального интеграла бесконечным рядом?

Существует связь между диаграммами Фейнмана и интегралом по траекториям. Не ограничивая общности, для простоты мы будем специализироваться на случае скалярных полей, таких как$\phi^4$теория, описанная,

$$\mathcal L = \frac12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac12 m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4.$$

Производящий функционал свободной теории равен

$$Z_0[J] = \int \mathcal D[\phi] \, e^{iS[\phi] + \int d^4x \, J(x)\phi(x)} =\exp \left[ -\frac{i}{2} \int d^4x \, d^4y \, J(x)\Delta(x-y)J(y)\right]$$

где$\Delta(x-y)$является пропагатором Фейнмана. Для теории взаимодействия имеем

$$Z[J] = \frac{\exp \left[ -\frac{i\lambda}{4!} \int d^4z \left( \frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(z)}\right)^4\right] Z_0[J]}{\exp \left[ -\frac{i\lambda}{4!} \int d^4z \left( \frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(z)}\right)^4\right] Z_0[J] \bigg\rvert_{J=0}}.$$

$Z[J]$может быть графически расширен с точки зрения диаграмм Фейнмана в позиционном пространстве; первые два члена, кроме константы, представляют собой диаграмму головастика и четырехточечную вершину.

Таким образом, на самом деле существует бесконечное представление интеграла по путям в терминах этих диаграмм. Мы также можем связать интеграл по путям с амплитудами рассеяния, но вам нужно знать, что мы можем представить упорядоченные по времени корреляционные функции, например, как

$$\langle \mathcal T \{ \phi(x_1)\phi(x_2)\} \rangle = -\frac{\delta^2}{\delta J(x_2) \delta(x_1)} Z[J]\bigg\rvert_{J=0}$$

то есть функциональные производные производящего функционала взаимодействующей теории. В качестве примера теперь мы можем связать амплитуду рассеяния для$|p_1,p_2\rangle$к$|p_3,\dots,p_n\rangle$по формуле сокращения LSZ:

$$\langle p_3, \dots, p_n | S | p_1,p_2 \rangle = i^n \int d^4x_1 e^{-ip_1 x_1}(\square_1 + m^2) \dots \prod_{i=1}^n \int d^4 x_i e^{ip_i x_i} (\square_i + m^2) \times$$ $$\times \langle \mathcal{T} \{\phi(x_1) \dots \phi(x_i)\}\rangle.$$

Таким образом, резюмируя:

• Интеграл по путям имеет графическое представление в виде серии диаграмм Фейнмана в пространстве позиций.
• Корреляционные функции, поскольку они могут быть выражены через интегралы по путям, также обладают разложением диаграммы Фейнмана.
• Через формулу редукции LSZ связаны амплитуды рассеяния и корреляционные функции полей.