Физическая интерпретация изменения диффузионного члена в уравнениях Навье-Стокса

Дело не в том, что случайное движение уменьшается, когда скорость потока увеличивается. Дело только в том, что хаотическое движение остается прежним, но доминирует когерентное движение. Если скорость диффузии в газе равна 1, а конвективная скорость потока равна 1000 (единицы не имеют значения), то диффузионным действием можно спокойно пренебречь.

Важно помнить, что существуют пределы того, где можно применять приближения. При больших числах Рейнольдса можно использовать уравнения Эйлера, не учитывающие вязкость за пределами тонкой области вокруг тел , где независимо от того, насколько велика конвективная скорость, всегда будут вязкие эффекты.

Вы почти даете ответ на свой вопрос:

С увеличением расхода силы инерции становятся больше, чем силы вязкости.

Мы можем сформулировать это более точно: силы инерции масштабируются квадратично со скоростью потока$U$:$\rho \mathbf u\nabla \mathbf u\sim \rho U^2/L$, а вязкие силы масштабируются линейно:$\mu \nabla^2\mathbf u \sim \mu U/L^2$. Здесь$\rho$плотность жидкости,$\mu$динамическая вязкость и$L$представляет собой характеристическую шкалу длины.

Отношение между ними и есть число Рейнольдса.$\mathrm{Re} = \rho UL/\mu$. Поэтому, когда$\mathrm{Re}$большой, вязкий член можно рассматривать как малый.

Теперь я не могу понизить голос, но я хотел бы исправить неправильное представление, присутствующее в вопросе и двух существующих ответах.

Вязкий термин$\mu \nabla^2\mathbf u$не следует интерпретировать как «диффузионный поток» или как молекулярную диффузию (как описывается числом Пекле). Вместо этого он описывает эффекты внутреннего трения в жидкости. Трение возникает, когда соседние частицы жидкости имеют разные скорости. Эффект трения заключается в выравнивании скоростей, тем самым уменьшая градиенты скорости потока. Фактически сама форма вязкого члена исходит из предположения о ньютоновской жидкости: сила трения пропорциональна локальному градиенту скорости потока$^1$, а константа пропорциональности – динамическая вязкость$\mu$.

Обычно вязкий термин называют «диффузией», предположительно из-за второй производной. Величина, «диффундирующая» в Навье-Стоксе, представляет собой скорость жидкости в том смысле, что высокие скорости жидкости распространяются в области с более низкими скоростями жидкости в направлении отрицательного градиента. Но в отличие от молекулярной диффузии в вязком члене нет никакой случайности.$^2$. Необратимость является результатом фрикционной диссипации.

Я повторно использую важный абзац из ответа tpg2114:

Важно помнить, что существуют пределы того, где можно применять приближения. При больших числах Рейнольдса можно использовать уравнения Эйлера, не учитывающие вязкость за пределами тонкой области вокруг тел, где независимо от того, насколько велика конвективная скорость, всегда будут вязкие эффекты.

Теперь мы понимаем, почему это так: вязкий член фактически масштабируется с градиентами скорости жидкости , в то время как конвективный член масштабируется с самой скоростью жидкости. Поэтому вблизи стационарной границы, где скорость равна нулю, следует, что скорость мала, а градиенты велики, отсюда значение$\mathrm{Re}$локально мало , и есть пограничный слой.

Наконец, я хотел бы прокомментировать, также в отношении ответа tpg2114, что единицы действительно имеют значение. Для соблюдения невязкого приближения важно, чтобы безразмерное число Рейнольдса было большим. Даже если мы в кругу друзей можем сказать «для больших скоростей..», мы должны понимать, что имеем в виду в данном случае «для больших значений числа Рейнольдса». Это похоже на квантовую механику, где мы можем сказать: «потому что$\hbar$такой маленький..", но на самом деле мы обычно используем единицы, где$\hbar=1$.

$^1$Особая форма ньютоновской жидкости возникает из утверждения, что напряжение$\tau_{ij}$(сила на площадь из-за давления и трения) определяется выражением$\tau_{ij} = -p\delta_{ij} + \mu (\partial_ju_i+\partial_iu_j)$. Уравнения Навье-Стокса на самом деле являются уравнениями сохранения импульса, утверждающими, что дивергенция тензора напряжений равна скорости изменения импульса во времени:

$^2$Однако надо сказать, что трение (вязкость) — это, конечно же, следствие случайных столкновений на молекулярном уровне моделирования. Например, вязкость часто сильно зависит от температуры. Но на континуальном уровне эта случайность усредняется до макроскопических величин и моделируется определяющими уравнениями, подобными вышеописанной ньютоновской жидкости.

Полезно рассматривать эту проблему с точки зрения временных масштабов.

Посмотрите на уравнение Навье-Стокса в 1D:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Учитывая временные масштабы порядка диффузии для области длины,$L$, шкала времени диффузии равна,$\tau_d \sim L^2/\nu$. С другой стороны, конвективная временная шкала, где$U$– типичная скорость в потоке, равна$\tau_c \sim L/U$. Другими словами, временные шкалы каждого процесса различаются примерно на$Pe = \tau_d/\tau_c \approx UL/\nu$раз. Последняя величина известна как число Пекле,$Pe$, который сравнивает относительный размер каждой временной шкалы. Когда$\tau_c << \tau_d$или$Pe >> 1$тогда в переносе преобладает адвекция/конвекция. Если$Pe << 1$преобладает диффузия.

Вы можете подставить разные значения и убедиться, что только если$Pe$близко к 1 – диффузионный и конвективный масштабы времени одного порядка. В типичных потоках, где временной масштаб диффузии намного больше, чем временной масштаб конвекции, уравнения Эйлера можно использовать в хорошем приближении.