Нет диффузионного члена в законе сохранения массы в уравнениях Навье-Стокса?

Для однокомпонентной жидкости закон сохранения массы следует

$$\left(\begin{array}{c}\text{mass of fluid } \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of fluid } \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{sources or} \\ \text{sinks in }\Delta V\end{array}\right)$$ В пересчете на куб объема $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$, Это $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\rho\Delta V&=\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x}-\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x+\Delta x} \\ &+\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y}-\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y+\Delta y} \\ &+\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z}-\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z+\Delta z} \\ &+r\Delta V \end{align}$$ Поток здесь определяется как _ $\rho v_i$: масса, которая вытекает наружу, $\rho$, должен вытекать со скоростью жидкости в объеме ячейки, $v_i$. Если бы имела место микроскопическая диффузия, мы не смогли бы сказать, потому что молекулярные массы идентичны, поэтому мы не смогли бы отличить состояние 1 от состояния 2.

Затем, разделив обе части на$\Delta V$и взять предел$\Delta x\to0$, мы получаем УЧП

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\partial\rho v_x}{\partial x}-\frac{\partial\rho v_y}{\partial y}-\frac{\partial\rho v_z}{\partial z}+r$$ которое сводится к обычному уравнению неразрывности $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{v}=0$$ без источников/стоков ( $r=0$).

Однако у нас может быть диффузионная составляющая уравнения неразрывности, если мы рассматриваем различные химические вещества, которые могут взаимодействовать. Для произвольного объема некоторых химических соединений$i$, массовый баланс

$$\left(\begin{array}{c}\text{mass of species }i \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of species }i \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{mass produced} \\ \text{by reactions}\end{array}\right)$$ что на самом деле, $$\frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{n}=r\tag{1}$$ где $\mathbf{n}$поток видов $c_i$, и $r$исходный термин. Это, конечно, наше обычное уравнение неразрывности с исходным членом. В случае многокомпонентной жидкости здесь диффузия частиц изменит состояния, поэтому начальное состояние больше не эквивалентно конечному состоянию.

Для стационарных течений поток массообмена равен

$$\mathbf{n}=-D\nabla c_i$$ дать нам закон Фика . Однако для движущегося потока поток имеет диффузионную и конвективно-адвективную составляющие, $$\mathbf{n}=-D\nabla c_i+c_i\mathbf{v}$$ что тогда позволило бы (1) быть $$\frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla \cdot c_i\mathbf{v}=\nabla\cdot\left(D\nabla c_i\right)+r\tag{2}$$ которое представляет собой уравнение конвекции-диффузии .

Однако в уравнении импульса у нас есть несколько дополнительных членов , связанных с изменением формы контрольного объема.$\Delta V$:

$$\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V\rho \mathbf u\,dV=-\oint_S\left(\rho \mathbf u\,d\mathbf S\right)\mathbf u-\oint_S p\,d\mathbf S+\iiint_V\rho\mathbf f_{body}\,dV+\mathbf F_{surf}$$ а именно массовые силы, $\mathbf{f}_{body}$, и поверхностные силы, $\mathbf{F}_{surf}$. Именно поверхностная сила создает член диффузии, поскольку она связана с тензором напряжений , который обеспечивает $\nu\nabla^2\mathbf{v}$член уравнения Навье-Стокса.

Я оставил это как комментарий, но я расширю его здесь, поскольку он дает другую точку зрения. Представьте, что у вас есть ящик с молекулами газа, которые подпрыгивают в нем. Каждая молекула идентична, поэтому у них одинаковая масса, температура и давление. Допустим также, что у этой коробки есть диафрагма посередине, разделяющая коробку на две части.

Теперь вы снимаете диафрагму и начинаете искать изменения газа в коробке. Но вы видите, что ничего не происходит, потому что на каждую молекулу, начавшуюся слева от делителя, которая движется вправо от делителя, молекула справа движется влево. Но это точно такие же массы, давления и температуры, поэтому фактическое состояние коробки не меняется.

А теперь представьте, что у вас есть такой же ящик, разделенный пополам, но на этот раз вы помещаете легкую молекулу слева, а тяжелую справа, опять же при том же давлении и температуре. Теперь, когда вы снимаете диафрагму, когда тяжелая молекула движется в сторону легкой молекулы, несколько легких молекул переместятся в сторону тяжелой. И если вы посмотрите на это с течением времени, острая граница раздела будет рассеиваться, когда эти молекулы отскакивают друг от друга и смешиваются. В конце концов, она станет однородной, и вы не увидите никаких дальнейших изменений в системе.

А теперь представьте, если бы у нас была такая же коробка, тот же разделитель, с одинаковыми молекулами слева и справа, но теперь температура слева была бы выше, чем справа. Когда разделитель удаляется и молекула с высокой температурой перемещается в одну сторону, а ее место занимает молекула с низкой температурой, вы увидите, как температура системы рассеивается и смешивается до однородного состояния. Вы можете сделать то же самое с импульсом, чтобы получить член вязкой диффузии.

Итак, все это говорит о том, что все уравнения описывают одни и те же вещи, но диффузия идентичной массы дает систему, неотличимую от предыдущего состояния. Просто нет никаких наблюдаемых различий, поэтому в уравнении масс нет диффузионного члена. Если у вас нет нескольких видов (разных молекул), в этом случае в уравнениях частичной массы есть член диффузии.

Так что на самом деле это очень простая причина, но вам придется немного подумать о том, что происходит.

Уравнение переноса утверждает, что все, что является «материалом», можно рассматривать следующим образом: «Маленький ящик течет вниз по течению; скорость изменения вещества внутри ящика во времени равна потоку вещества через границу коробка плюс все, что вставляется в коробку через какой-то другой механизм». Конечно, собственная масса жидкости — это вещество, ее импульс в направлении x — это вещество, ее температура — это вещество в виде тепловой энергии и т. д. Почти все, что сохраняется, можно рассматривать как «вещество». .

Если взять его по частям, вещество описывается некоторой концентрацией или плотностью.$c$; поток некоторым полем скоростей$\vec v(\vec r, t)$. Часть, в которой говорится, что «коробка течет вниз по течению, скорость изменения вещества внутри коробки» начинается с:

$$\frac{\partial c}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) ~ c = \dots~~~.$$ (Если вы никогда раньше этого не видели: коробка со временем $t + dt$бить $\vec r + \vec v~dt;$Тейлор-расширить $c(\vec r + \vec v ~dt, t + dt) - c(\vec r, t)$найти эту «конвективную производную».)

поток$c$тогда описывается плотностью тока$\vec j$, но это накапливается только в ящике с его отрицательной дивергенцией . Наконец, «другой механизм» просто оставлен как некий термин.$q$будет заполнено позже, поэтому

$$\frac{\partial c}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) ~ c = -\nabla \cdot \vec j + q~.$$ Типичная форма для $\vec j$действительно заявляет, что $$\vec j = c ~\vec v - D ~\nabla c ~.$$ Это говорит о том, что «вещество» в основном течет вниз по течению, но также имеет некоторый эффект там, где оно не течет вниз по течению: а именно, оно течет от высокой концентрации к более низкой концентрации «локально линейным» потоком (закон Фика, линейный в потоке). в том смысле, что удвоенный разрыв концентрации локально = удвоенный расход). Подключение этой формы дает общую форму: $$\frac{\partial c}{\partial t} + \nabla \cdot (c ~\vec v) = D \nabla^2 c ~+~ (\nabla D) \cdot (\nabla c) ~+~ q~.$$

Итак, теперь вернитесь к этому выражению для$\vec j$: ты понимаешь почему$D = 0$единственный правильный выбор, когда мы говорим о массе самой жидкости?

Да: потому что вся необходимая нам информация уже есть в$\vec v$. Поток массы самой жидкости просто$\rho ~\vec v$, точка, больше ничего.

Иными словами, если бы жидкая масса текла каким-либо другим путем, то$\vec v$компенсировать будет иначе. Тот факт, например, что жидкость может быть сжимаемой, уже присутствует в уравнении, скрытом в$\nabla \cdot (\rho ~ \vec v)$срок. Единственное, чего там нет , так это того, что жидкость поступает в поток из внешнего мира, но она зарыта в$q$. Жидкая масса не может взаимодействовать с собой вне этого механизма без того, чтобы мы не определили другой набор частиц как собственно «жидкость» и не следовали за этой жидкостью как за нашей.$\vec v$, и в этом случае эти частицы$\rho$происходит такое же явление.

Основной момент уже упоминался, но я хотел бы дать свой вариант ответа, и указать на одну тонкость. Основными уравнениями гидродинамики являются закон сохранения массы, импульса и энергии.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} - \vec{\nabla}\cdot\vec{\jmath}_\rho \\ \frac{\partial \pi_i}{\partial t} = - \nabla_j\Pi_{ij}, \\ \frac{\partial {\cal E}}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot\vec{\jmath}^{\;\epsilon} .$$ Теория Навье-Стокса соответствует учету диффузионных членов в тензоре напряжений $\Pi_{ij}$. Эти термины связаны с объемной и сдвиговой вязкостью, $\delta\Pi_{ij}=-\eta\sigma_{ij}-\zeta\delta_{ij}\langle \sigma\rangle$с $$\sigma_{ij} = \nabla_i u_j +\nabla_j u_i -\frac{2}{3}\delta_{ij} \langle\sigma\rangle \, , \;\;\; \langle\sigma\rangle =\vec{\nabla}\cdot\vec{u}\, .$$ Диффузные члены также появляются в потоке энергии $\vec{\jmath}^{\;\epsilon}$. Кроме вязкости поток энергии содержит теплопроводность. $\delta\jmath_i^{\;\epsilon}=u_j\delta\Pi_{ij}-\kappa\nabla_i T$.

Почему в массовом токе нет диффузионных членов?$\jmath_\rho$? Правильный ответ действительно таков$\vec{\jmath}_\rho=\rho\vec{u}$используется для определения скорости жидкости. Возможны и другие определения. В релятивистской области мы часто определяем скорость жидкости, используя поток энергии (это называется система координат Ландау), и тогда в массовом потоке появляются диффузионные члены.

Тонкость: в гидродинамике мы также используем, что плотность импульса равна$\vec{\pi}=\rho\vec{u}$. Поскольку мы использовали$\vec{\jmath}_\rho$определить$\vec{u}$не очевидно, почему это отношение не модифицируется диффузными членами.

Ответ конечно такой$\vec{\pi}=\vec{\jmath}_\rho$связано с симметрией. Умножьте сохранение массы на$\vec{r}$и интегрировать по пространству (этот аргумент принадлежит Ландау). Мы получаем

$$\frac{\partial}{\partial t}\int d^3r\, \vec{r}\rho + \int d^3r\, \vec{\jmath}_\rho =0.$$ Поскольку первый член — это центр масс, второй член должен быть полным импульсом. Центр масс является одним из образующих группы Шредингера, поэтому симметрия является симметрией Шредингера. Современную версию этого аргумента дал Дженсен ( http://arxiv.org/abs/1411.7024 ). $\vec{\pi}=\vec{\jmath}_\rho$является тождеством Уорда, которое может быть получено с использованием геометрии Ньютона-Картана.

Уравнения Навье-Стокса описывают жидкость приближенным образом, полностью пренебрегая диффузией молекул. В обычном случае поле скоростей предполагается гладким.

«Распространение импульса», упомянутое в связи с термином, пропорциональным$\Delta \mathbf u$на самом деле не является диффузией в молекулярном смысле. Это своего рода метафора для описания передачи количества движения за счет вязких сил в жидкости. Никакая фактическая диффузия не описывается на этом макроскопическом уровне. В уравнениях Эйлера и Навье-Стокса все движение материи является чисто конвективным, задаваемым гладким полем скоростей. Просто вязкие силы (имеющие связь с реальной диффузией, но не на этом уровне теории) приводят к эволюции импульсного распределения, напоминающей обычную диффузию.