Физический смысл дивергенции конвективной скорости

Принимая дивергенцию члена конвективной скорости, я получаю следующее:

∇ ⋅ [ ты ⋅ ∇ ты ] "=" ∂ ∂ Икс я [ ты Дж ∂ ты я ∂ Икс Дж ] "=" ∂ ты Дж ∂ Икс я ∂ ты я ∂ Икс я + ты Дж ∂ 2 ты я ∂ Икс Дж ∂ Икс я "=" ты ⋅ ∇ д + ( ∇ ты ) ⋅ ( ∇ ты ) Т
где д "=" ∇ ⋅ ты .

Я знаю, что первый член в правой части представляет собой конвективный член для компонента расширения поля скорости (из разложения Гельмгольца), но я не могу полностью понять физический смысл второго члена. Градиент скорости является тензором 2-го порядка, но каков физический смысл произведения тензора 2-го порядка на его транспонирование? Есть ли способ манипулировать им, чтобы получить от него лучший физический смысл?

Как правило, я считаю, что легче получить значение из нотации суммирования, чем из векторной нотации. Также обратите внимание: вы изменили порядок терминов со предпоследней части выражения на последнюю часть выражения. Тем не менее, я играю с ним, пытаясь понять, что означает этот термин...
В каких ситуациях вас интересует дивергенция конвективной скорости? Есть ли здесь прецедент или ссылка, которой вы пытаетесь следовать? Я не знаю, сталкивался ли я с этим раньше, но все равно это выглядит как-то знакомо.
Я смотрю на разложение Гельмгольца уравнений Навье-Стокса. По сути, вы можете разложить уравнение на соленоидальную (завихренность) и безвихревую (расширение) части. Выше приведен фрагмент формы расширения. Что касается смены порядка - действительно ли это имеет значение, поскольку это точечный продукт?
К сожалению, мои книги по сжимаемой турбулентности, в которых говорится о разделении полей, находятся в лаборатории, поэтому я не могу найти их прямо сейчас, но мне они показались знакомыми. И что я имел в виду под терминами «переворачивание» — первый термин после второго "=" это 2-й член после последнего "=" . Другими словами, ∂ ты Дж ∂ Икс я ∂ ты я ∂ Икс Дж "=" ( ∇ ты → ) ⋅ ( ∇ ты → ) Т . Я просто хотел убедиться, что всем понятно, что порядок терминов изменился от предпоследнего до последнего шага.
Разве последний термин не должен быть продуктом с двумя точками? Первый срок, ты ⋅ ∇ q является скаляром (тензор нулевого ранга), но в настоящее время второй член будет тензором первого ранга. Так что я думаю, что это должно быть ∇ ты   :   ( ∇ ты ) Т , верно?
Появляется этот термин, ∇ ты   :   ( ∇ ты ) Т , соответствует растяжению вихря. Ну, по крайней мере, это то, на что указывает тезис, процитированный @tpg2114. Спасибо, кстати, в этой диссертации есть кое-что хорошее.
@honeste_vivere Это может согласовываться с идеей рассеивания расширения - растяжение вихря может преобразовать расширение в завихренность в качестве члена рассеяния в этом уравнении и исходного члена в уравнении завихренности.
@honeste_vivere Я думаю, что была опечатка, когда он был преобразован в латекс - термин du_i/dx_j*du_j/dx_i является тензором нулевого ранга, поскольку свободных индексов нет. У меня никогда не было возможности опубликовать это, но интересно то, что если вы расширите член в декартовых координатах, вы получите 3 квадрата членов, которые подразумевают диссипацию в расширении, поскольку они никогда не могут быть отрицательными, но вы также в конечном итоге получите с 3 другими терминами, которые могут быть или не быть отрицательными. На самом деле это не все проясняет, но определенно показывает наличие рассеивающей составляющей.

Ответы (3)

Член в уравнении:

∂ ты я ∂ Икс Дж ∂ ты Дж ∂ Икс я

Итак, давайте сделаем шаг назад и подумаем, какие члены могут появляться в уравнениях сохранения. Может быть срок производства, срок транспортировки и срок рассеяния. Транспортный срок – это ты → ⋅ ∇ д термин, который вы отметили. Когда вы смотрите на полный связанный набор уравнений (уравнения сохранения завихренности и дилатации), вы видите некоторые условия производства и диссипации, которые переводят скорость дилатации в завихренность и наоборот.

Я не знаком с декомпозицией здесь конкретно. Однако, глядя на некоторые другие уравнения, с которыми я знаком (турбулентная кинетическая энергия), я рискну и скажу, что этот член является членом диссипации. Во всех законах сохранения, которые я видел, термины, похожие на рассматриваемый термин, являются терминами диссипации — это ответ на ваш вопрос о том, как думать о таких терминах в целом.

Эта гипотеза, по-видимому, подкрепляется несколькими работами, которые я нашел и быстро просмотрел, а также этим тезисом в уравнении 2.14d , который объединяет рассматриваемый термин в термин вязкой диссипации.

Мой голос - это рассеивание дилатации.

Кажется интересным, что член диссипации возникает из инерционных членов без учета конкретных свойств жидкости, таких как вязкость (т.е. без учета какого-либо молекулярного переноса импульса и т. д. через поверхности жидкости). Это имеет смысл, просто учитывая, что два тензора являются относительными градиентами скорости относительно друг друга, но я хотел бы изучить это подробнее.
@Kimusubi Да, я так же не хочу называть это вязким рассеиванием, но это действительно относится к этим терминам. Поскольку мы говорим здесь об «искусственном» явлении, может случиться так, что конвекция дилатации приводит к уменьшению дилатации в дополнение к переносу. В некотором смысле это означало бы, что никакие потоки не могут вечно оставаться без вращения без производственного термина, что я мог бы считать правдоподобным. Хотя, конечно, интересно подумать.
Интересно думать об этом в таком ключе. Но разве это не противоречит теореме устойчивости Гельмгольца — в отсутствие вязкости безвихревое течение должно оставаться безвихревым (сейчас игнорируя тензор девиаторных напряжений)? Я конкретно имею в виду то место, где вы сказали, что безвихревой поток не останется безвихревым навсегда.
@Kimusubi Может и нет. Интересно (точно не знаю), как выглядит этот член диссипации в безвихревом потоке. В случае может быть 0. Так что, возможно, этот член отличен от нуля только тогда, когда в потоке есть вращательный компонент. Опять же, я не знаю наверняка и просто размышляю, так как раньше не работал с разложенными полями.
Можем ли мы описать дивергенцию относительно группы людей, бегущих по переулку на более широкую дорогу. Они "расходятся" на переходе узкого переулка в более широкую дорогу?
Моя интуиция подсказывает мне, что называть это термином рассеяния не имеет смысла. В лучшем случае мы могли бы назвать это дисперсионным членом, но я сомневаюсь. Я знаком с этим термином как с исходным членом в уравнении Пуассона давления для потока несжимаемой жидкости. Там этот член гарантирует, что поле давления таково, что производная дивергенции скорости по времени обращается в нуль.
Я забыл добавить, что в случае несжимаемого потока член появляется в производной по времени дивергенции скорости:
∂ ∂ т ( ∇ ⋅ ты ) "=" − ( ∇ ты ) : ( ∇ ты ) Т − 1 р Δ п
.

Я начну с извинений за то, что не знаком со спецификой этой проблемы и обычно используемыми обозначениями. Поэтому я буду использовать обозначения и терминологию, к которым привык; мы можем разложить градиент поля скоростей как

∂ Дж ты я "=" ю я Дж + о я Дж + 1 3 дельта я Дж θ ,
где ю я Дж "=" ∂ [ Дж ты я ] - антисимметричная часть (завихренность), о я Дж "=" ∂ ( Дж ты я ) − дельта я Дж θ / 3 - симметричная и бесследовая часть (сдвиг), а θ "=" ∂ я ты я – трасса/дивергенция (параметр разложения, д в ваших обозначениях). Тогда срок
∂ я ты Дж ∂ Дж ты я "=" о 2 + 1 3 θ 2 − ю 2 ,
где о 2 "=" о я Дж о я Дж , и ю 2 "=" ю я Дж ю я Дж .

Поскольку другой член дает изменение параметра расширения вдоль потока жидкости, мы можем сделать интерпретацию (переместив квадраты членов в другую часть уравнения), что ненулевой сдвиг и расширение служат для уменьшения расширения вдоль потока жидкости , а ненулевая завихренность служит для увеличения расширения вдоль потока жидкости.

Возможно, мы сможем найти значение этого термина, рассмотрев более легкую задачу — несжимаемую жидкость. Учет дивергенции уравнения Навье-Стокса в этом случае дает:

∇ 2 п "=" − р ( ∇ ты ) ⋅ ( ∇ ты ) Т

Мы видим, как рассматриваемый член напрямую связан с лапласианом поля давления. Поскольку этот термин существует в несжимаемом потоке, мы можем сказать, что он имеет физический смысл, выходящий за пределы расширения или даже отличный от него.

Если мы подумаем о потоке Стокса, где этот член считается незначительным из-за преобладания вязких членов, ничтожность этого члена служит для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что нет источника или стока конвективного ускорения из-за давления.

В случае, когда это не равно нулю, как в турбулентном потоке (высокое число Рейнольдса), во-первых: это говорит нам о свойстве нелокальности поля давления (которое вы могли бы увидеть, если подумали об интегрировании равенства, показанного выше) . Во-вторых: это говорит нам о том, как давление действует как источник или сток жидкости не за счет ее расширения или сжатия, а за счет чисто нелинейной природы турбулентности. Причина этого заключается в том, что рассматриваемый член возникает при расхождении конвективного члена ускорения в уравнении NS. Дивергенция поля ускорений в точке, если она не равна нулю, указывала на наличие источника или стока ускорения.

Ваши представления об этом термине запутаны: сам по себе этот термин не имеет ничего общего с турбулентностью (она столь же важна для ламинарных течений), и я не понимаю ваших размышлений относительно «источника или стока конвективного ускорения из-за давления». ".
@Pirx Спасибо, что указали на мою ошибку в отношении ламинарных потоков, на самом деле это должны быть потоки Стокса, где числа Re настолько низки, что нелинейный член ( ты ⋅ ∇ ) ( ты ) сократите перед вязким членом, и в этом случае вы получите линейно изменяющееся поле давления вдоль направления движения (путем решения результирующего уравнения Лапласа. Что касается вашего второго комментария, я думаю, что рассматриваемый член появляется, если взять расхождение конвективного члена ускорения в уравнении NS, которое, если оно не равно нулю, может интерпретироваться либо как источник, либо как сток.
Физический смысл дивергенции конвективной скорости
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v