Форма SU(N)SU(N)SU(N) калибровочных преобразований в SU(N)SU(N)SU(N) теории Янга-Миллса

Это не имеет ничего общего с инстантонами или квантовой теорией поля, это просто элементарный факт о$2\times 2$матрицы:

Матрицы Паули$\sigma^i$вместе с личностью$\mathbf{1}_2$образуют основу векторного пространства матриц размером 2 на 2. Поэтому,$U(x)$, как матричную функцию 2 на 2, можно записать как

$$U(x) = \zeta(x)\mathbf{1}_2 + \omega_i(x)\sigma^i$$ и ваше выражение для $U(x)$следует из выбора $\zeta(x) = x_4/r,\omega_i(x) = x_i/r$для $r = \sqrt{x^2}$.

Если вы хотите увидеть, как вам нужно выбрать$\theta_a(x)$в экспоненте для$U(x)$вы написали, просто используйте стандартное отношение

$$\exp(\mathrm{i}\alpha\vec n\cdot\vec\sigma) = \mathbf{1}_2\cos(\alpha) + \mathrm{i}(\vec n\cdot\vec \sigma)\sin(\alpha)$$ и сравните коэффициенты, чтобы получить $\theta_a = \alpha n_a$.

Конечно, это является. Единственное условие, которое накладывается на$U$заключается в том, что оно унитарно. Вы можете легко проверить, что последняя матрица.

$$\begin{equation}U^{\dagger}=\frac{x_4-\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}}; \end{equation}$$

$$\begin{equation}U^{\dagger} \cdot U=\frac{x_4-\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}} \cdot \frac{x_4+\mathrm{i} \vec{\sigma} \cdot \vec{x}}{\sqrt{x_4^2+\vec{x}^2}}=\frac{x_4^2+\vec{x}^2}{x_4^2+\vec{x}^2}=1. \end{equation}$$