Определяет ли калибровочная группа GGG главное GGG-расслоение?

Я пытаюсь понять математические основы калибровочных теорий на языке принципа г -расслоения и связанные с ними векторные расслоения. Не так давно я предполагал, что физический выбор группы симметрии г (компактная группа Ли) сразу и однозначно определяет бесконечномерную группу г калибровочных преобразований. Тогда я подумал г просто обеспечивал переходные функции принципала г -пучок. Я знаю, что в других контекстах пакет может быть однозначно восстановлен из его функций перехода. Таким образом, я думал, что физически мотивированный выбор г , сразу определяет главный пучок.

Теперь я понимаю, что калибровочные преобразования отличаются от функций перехода. Есть прекрасная дискуссия ( глобальная и локальная калибровочная группа в математическом смысле - примеры физики? )

Итак, теперь мне кажется, что выбор функций перехода главного расслоения, принимающих значения в г на самом деле дополнительные данные, которые необходимо предоставить в дополнение к г . В отличие от однозначного определения г и физические калибровочные преобразования.

Это верно? Если да, то как физики решают, какой принцип г -комплект им нужен?

Безусловно, существуют разные главные расслоения с одним и тем же базовым многообразием и изоморфным слоем: мне известен один пример: С 1 → С 3 → С 2 где С 1 ↷ С 3 к λ ⋅ г "=" г λ ± 1 , используя умножение в С 2 . Эти два расслоения не являются изоморфными главными расслоениями — одно из них является стандартным расслоением Хопфа.
Если вы уже знаете о существовании нетривиального принципала г -связка, есть еще хоть одна, тривиальная связка! Как правило, «набор» основных г - расслоение по пространству Икс находится в биекции с множеством гомотопических классов отображений Икс → Б г (где Б г это особое пространство, связанное с г , называемое его «классификационным пространством»). Вы должны сначала «заниматься физикой», чтобы увидеть, в какой «системе» вы действительно находитесь. Это означает нахождение функций перехода, видя, как физика в каждой локальной системе координат соотносится друг с другом. (В качестве альтернативы вы догадываетесь и проверяете экспериментом).
@ChrisGerig Спасибо, это имеет большой смысл. Я надеялся, что "заниматься физикой" означало всего лишь один раз выйти на улицу, чтобы выяснить, что г должно быть, но логично, что в физике нужно работать локально, экспериментально находить функции перехода. Но в некотором интеграле по путям, где вы интегрируете по всем соединениям по модулю калибровочных преобразований А / г относится ли это ко всем соединениям в фиксированном основном пакете или ко всем соединениям во всех основных пакетах?
Вы не можете измерить это локально, как я пытался объяснить ниже. Функции перехода определяют только топологические свойства, которые по самой своей природе не могут наблюдаться локально. По той же причине не имеет значения, берете ли вы интеграл по путям как интегрирование по всем расслоениям или расслоение с определенным набором функций перехода: если областью интегрирования является множество всех расслоений, это просто непересекающееся объединение интегрирования по конкретным расслоениям, и квантовые траектории по непересекающимся пространствам не могут влиять друг на друга.
(Чтобы еще больше подчеркнуть мою мысль о том, что функции перехода нельзя наблюдать локально: обратите внимание, что если ваше базовое пространство топологически тривиально (т.е. стягиваемое), то все различные варианты функций перехода на самом деле эквивалентны/неразличимы. Следовательно, чтобы «измерить» функции перехода, вам нужно сделать что-то очень глобальное, чтобы все, что вы делаете, было чувствительно к топологии вашего базового пространства.)

Ответы (2)

Возможно, полезно вспомнить пример ОТО: знание локальных симметрий пространства-времени не фиксирует его метрику (или топологию). Он исправляет только то, что локально "выглядит" р 1 , 3 . В таком случае мы знаем, как фиксируется эта дополнительная информация: начальными условиями, граничными условиями и динамикой. Точно так же для неабелевых калибровочных теорий/расслоений, встречающихся в стандартной модели, зафиксировано только то, что локально это выглядит как М × г . Точно так же его "геометрия" в принципе свободна и должна быть получена через триаду начальных условий, граничных условий и динамики. Именно поэтому калибровочные поля являются динамическими, а геометрия фиксируется напряженностью поля. Ф "=" д А . Вы можете думать о том, что я посылаю вам пакет света, как о том, как я посылаю рябь по U ( 1 ) линейный пучок.

Правильно, я понимаю, что калибровочные поля являются динамическими, но эти калибровочные поля являются соединениями на фиксированном базовом основном пучке. Таким образом, этот базовый пакет должен быть выбран, прежде чем говорить о его соединениях. Разве что соединение канонически определяет связку, через что-то, чего я не понимаю.
Ну, соединение определяет геометрию расслоения, функции переходов определяют топологию. Топология обычно фиксируется начальными условиями. Действительно: физика входит через принцип действия, который заботится только о локальных экстремумах, на которые не могут повлиять топологические соображения.
Если вам нужны дополнительные математические подробности: для данной калибровочной группы г , он не выбирает одно расслоение, а скорее топологически различные расслоения помечаются чем-то, называемым когомологиями Чеха, или, соответственно, топологически различными отображениями из базового многообразия М в так называемое «классификационное пространство», связанное с г . Это множество неэквивалентных отображений обозначается [ М , Б г ] . Например, если наше базовое многообразие С 2 и г "=" U ( 1 ) , затем Б г "=" С п ∞ и открывая учебник по математике мы видим [ С 2 , С п ∞ ] "=" π 2 ( С п ∞ ) "=" Z .
Следовательно, существует целое число топологически различных U ( 1 ) -связки на 2 -сфера. Принцип действия не может отдать предпочтение одному из них перед другими, поэтому обычно начальные условия определяют, в каком из них «мы находимся». Как только мы определили топологию нашего пучка, именно динамика/физика определяет геометрию нашего пучка.

В общей теории относительности классическими решениями являются пространство-время. ( М , г ) которые являются лоренцевыми многообразиями. Я призываю вас заметить, что топология основного многообразия является частью классического решения . Значит, неизвестное — это не просто метрический тензор!

В калибровочной теории все очень похоже. Дана компактная и полупростая группа Ли г можно построить несколько основных г - связки над одним и тем же базовым коллектором М . Одним из них является тривиальный пучок π 1 : М × г → М , где π 1 есть проекция на первый сомножитель, а где право г - действие

(1) ( Икс , г ) ⋅ час "=" ( Икс , г час ) .

Но очевидно, что это еще не все. У нас есть нетривиальные пакеты, которые не принимают эту простую форму продукта с этим простым г -действие (1). Они топологически отличны от тривиального расслоения.

Теперь калибровочное поле на самом деле является связностью на главном г -комплект, а что конкретно г -расслоение является частью спецификации решения, поскольку топология пространства-времени является частью спецификации классического решения ОТО !

Получается, что каждый главный г -расслоение по определению локально изоморфно тривиальному расслоению. Это соответствие задается выбором локального раздела о : U ⊂ М → π − 1 ( U ) и определение час : U × М → π − 1 ( U ) быть час ( Икс , г ) "=" о ( Икс ) ⋅ г . На таком локально тривиальном открытом множестве связность кодифицируется в алгеброзначной однозначной форме Ли А : U → Т * U ⊗ г . Это объект, к которому мы привыкли в теории Янга-Миллса.

Но будьте осторожны! Когда главный пучок не является тривиальным, то А не определяется глобально во всем пространстве-времени . В этом случае нетривиальной топологии вы не можете представить соединение одним А . Скорее вы должны покрыть лежащее в основе базовое многообразие открытыми множествами. { U я } над которым расслоение можно тривиализировать. В каждом из U я тогда у тебя есть один А я и для того, чтобы они давали четко определенную связь в основном пучке, они должны подчиняться определенным условиям совместимости в перекрытиях.

Теперь сравните снова с GR. Метрика г в каждой области координат задается компонентами г мю ν . Часто одна диаграмма не охватывает все многообразие, и у вас будет несколько диаграмм, в которых указаны количества. г мю ν , которые подчиняются условиям совместимости в перекрытиях, чтобы они давали начало четко определенному внутреннему объекту г .

Таким образом, ответ на вопрос «Определяет ли калибровочная группа G главное G-расслоение?» заключается в том, что нет, существует несколько топологически неэквивалентных основных г -расслоения над одним и тем же базовым многообразием, и эти данные являются частью спецификации конфигурации калибровочного поля калибровочной теории.

Определяет ли калибровочная группа GGG главное GGG-расслоение?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v