Доказательство того, что всегда можно найти такое калибровочное преобразование, что A0=0A0=0A_0=0?

Я пытаюсь следовать доказательству Коулмана из его лекций «Аспекты симметрии» на стр. 200-201. Он доказывает, что всегда можно работать во временной калибровке для общей теории Янга-Миллса-Хиггса. Я быстро повторю его аргумент. Рассмотрим некоторое поле Хиггса,$\phi$, для которого ковариантная производная по направлению обращается в нуль на некотором пути$P$:

$$\begin{equation} \frac{dx^\mu}{ds} D_\mu \phi=0 \Rightarrow \frac{d \phi}{ds}=-\frac{dx^\mu}{ds} A_\mu \phi \end{equation}$$

где$s$параметр пути, такой, что путь начинается в точке$x_0$и заканчивается в$x_1$для$s \in [0,s_f]$. Решение этого уравнения определяется выражением:

$$\begin{equation} g(P) = \mathcal{P} \exp \left( -\int\limits_{P(0)}^{P(s_f)} A_\mu(P(s)) \; \mathrm{d} x^\mu \right) \end{equation}$$

где$\mathcal{P}$обозначает символ упорядочения пути. Кроме того, мы можем показать, что свойства преобразования задаются следующим образом:

$$\begin{equation} g(P)' = g(x_1) g(P) g(x_0)^{-1} \end{equation}$$

Теперь доказательство: «Для любой точки пространства-времени$x$, определять$P_x$быть прямым путем от$(\mathbf{x},0)$к$x$. Желаемое калибровочное преобразование определяется следующим образом:

$$\begin{equation} g(x)=g(P_x)^{-1} \end{equation}$$

ибо при этом преобразовании:

$$\begin{equation} g(P_x)' = g(P_x)^{-1} g(P_x) g(P_0)=1 \end{equation}$$

из которого$A_0=0$следует дифференцированием».

Я понимаю математику до фактического доказательства, но нахожу его доказательство довольно запутанным (может быть, потому, что английский не мой родной язык). Насколько я понимаю, он определяет путь$P_x$в каждой точке$x$в пространстве-времени. Более того,$P_x$представляет собой прямую линию, эволюционирующую только во времени, т.е.$P_x$остается в той же точке$\mathbf{x}$в космосе, но развивается вместе с$t$. Это верно? Если так, то$g(P_x)$дан кем-то:

$$\begin{equation} g(P_x) = \mathcal{P} \exp \left( -\int\limits_{P(0)}^{P(s_f)} A_0(P_x(s)) \; \mathrm{d} x^0 \right) \end{equation}$$

и действительно это подразумевает:

$$\begin{equation} \partial_0 g(P_x)' = A_0' = 0 \end{equation}$$

Если моя интерпретация верна до сих пор, то у меня следующий (возможно, глупый) вопрос:

Откуда мы это знаем$\phi$в каждой точке пространства-времени$x$всегда подчиняться первому уравнению, которое я написал? Другими словами, все доказательство основано на идее$\phi$удовлетворяет этому уравнению для пути$P_x$, но откуда мы знаем, что это правда?