Интерпретация тензора напряженности поля в теории Янга-Миллса

Классически напряженность калибровочного поля представляет собой кривизну связности, как и тензор Римана. С$F^a_{\mu\nu}$живет в присоединенном представлении калибровочной группы, вы можете определить объект с 4 индексами, очень похожий на тензор Римана:

где$f_c{}^a{}_b$структурные константы, определенные через

по модулю коэффициенты$i$если вы хотите вставить их. В любом случае объект$\mathcal{F}^a{}_{b\mu\nu}$содержит информацию о параллельном переносе вокруг бесконечно малых петель в том же смысле, что и тензор Римана. Но транслируемый вектор не является касательным вектором; вместо этого это вектор в калибровочном пространстве (или «внутреннем» пространстве), компоненты которого определяются посредством разложения по образующим.$t_a$, как в$V = V^a \, t_a$.

Так,$\mathcal{F}^a{}_{b\mu\nu}$описывает изменение в$V = V^a \, t_a$поскольку он переносится параллельно (через ковариантную производную$D_\mu \equiv \partial_\mu + A_\mu$, снова по модулю множителей$i$и т. д.) вокруг небольшого параллелограмма в направлениях$\partial_\mu, \partial_\nu$.

Вот несколько «мотивов» рассмотреть кривизну калибровочного поля. Однако имейте в виду, что понятие «физической» мотивации несколько расплывчато в неабелевых калибровочных теориях и что «оно совпадает с электромагнетизмом в абелевом случае» уже является довольно сильной мотивацией — конечно, мы хотим, чтобы неабелевские калибровочные теории Абелева теория сводится к электромагнетизму в абелевом случае.

1. Мы хотим, чтобы в действии использовался калибровочно-инвариантный объект. Берем калибровочное поле$A$сам по себе или его следы не работает, так как дополнительный$g\mathrm{g}^{-1}$член при калибровочных преобразованиях портит инвариантность следа относительно$gAg^{-1}$. Поскольку калибровочное поле было введено как имеющее ковариантную производную, кажется естественным попытаться взять от него ковариантную производную. Действительно, мы находим, что$\mathrm{d}_A A = \mathrm{d}A + A\wedge A = F$трансформируется как$F\mapsto gFg^{-1}$при калибровочном преобразовании, поэтому взятие его следа дает калибровочно-инвариантный объект, который мы можем использовать для построения калибровочно-инвариантного действия.

2. Это бесконечно малая голономия. Это теорема Амброуза-Зингера : учитывая связь с ее понятием параллельного переноса, голономия вокруг замкнутого пути, часто символически записывается как интеграл, упорядоченный по путям.$\mathcal{P}\mathrm{e}^{\oint A}$, является еще одним естественным и калибровочно-инвариантным объектом для рассмотрения. Это имеет физический смысл, поскольку математические ожидания петель Вильсона и Полякова немногим превышают среднее значение голономии вдоль этих петель, и если вы сожмете такую ​​петлю, вы обнаружите, что значение голономии становится хорошо аппроксимируемым значением искривление внутри петли. По сути, это то, что "искривляется" в кривизне - она ​​говорит вам, насколько параллельный транспорт по бесконечно малой петле, основанной на точке, отклоняется от тождества, т.е. "плоского" пространства.