Вычисление потенциала на поверхности из потенциала на другой поверхности

Вопрос короткий: если распределение заряда (или массы)$\rho$окружен поверхностью$S_1$, я могу рассчитать электростатический (или гравитационный) потенциал на этой поверхности, интегрируя$\rho(r') \ / \ |r-r'|$за каждую точку$r$на$S_1$,. Теперь, если я хочу использовать только потенциальное распределение на$S_1$вычислить потенциал на другой поверхности$S_2$который также включает$\rho$и мог заключать$S_1$, быть окруженным$S_1$, или пересекаются$S_1$, разрешима ли она, будет ли решение уникальным, и есть ли имя для этого вычисления, которое я могу использовать для дальнейшего чтения?

(Если вы чувствуете себя щедрым - вы можете даже наметить, как это сделать. У меня есть предчувствие, что это означает, что поверхность должна быть большой.$r$где мультиполи более высокого порядка стремятся к нулю, но я не уверен.)

Примером этого может быть распространение модели гравитационного потенциала Земли с одной поверхности на другую поверхность, где обе поверхности охватывают Землю, не обязательно пытаясь найти решения для распределения массы внутри Земли в качестве промежуточного шага.

выше: иллюстрация одного из трех случаев - здесь$S_2$пересекается$S_1$.

Остальное было добавлено для того, чтобы «проявить некоторое усилие», чтобы убрать предыдущую задержку: Вот что я пока понимаю. Я построю 2D-задачу для более удобного отображения. Я могу определить три распределения заряда (или массы) таким образом, чтобы общая плотность была неотрицательной. Теорема Ньютона об оболочке говорит нам, что для потенциала 1/r в 3 измерениях вне распределения результат будет таким же для расширенных наложенных друг на друга сферических распределений или точечных зарядных устройств.

locs = [(0, 0), (0.5, 0), (0.0, 0.8)]  # locations
Rs   = [1.0,     0.5,      0.2      ]  # radii of distributions
rhos = [1.0,    -1.0,     20.0      ]  # density of distributions
qs   = [rho*(fourpi/3)*R**3 for (rho, R) in zip(rhos, Rs)]  # equivalent point charges

примечание: я хочу решить трехмерную проблему, где применяется теорема Ньютона об оболочке. 2D-графики здесь просто помогают проиллюстрировать, где я нахожусь в данный момент.

График внешнего потенциала и распределения плотности:

Я могу определить две границы при R=1,1 и R=1,9 и рассчитать потенциал на этих границах. Я также мог бы выбрать ортогональный набор базисных функций, таких как сферические гармоники для сферической границы в 3D и просто ряд Фурье для круглой границы в 2D (показано ниже):

Теперь предположим, что потенциал имеется только на окружающей границе незаряженной области. В этом случае потенциал в этой области является решением уравнения Лапласа, и он полностью определен и уникален. Есть несколько способов найти его. Можно подобрать набор базисных функций, но я сделаю это простым (?) способом - методом Якоби , числовым методом, при котором в случае двумерной квадратной сетки вы вычисляете массив средних значений четырех ближайших соседей. , а затем обновите весь массив новыми числами. Это медленно, и есть несколько способов ускорить его, но здесь я воспользуюсь самой простой формой:

Итерация тысячи раз с самым простым (самым медленным) алгоритмом:

(Я знаю, что не должен использовать джет - см . здесь и здесь .)

Однако: мой вопрос о том, как справиться с ситуацией, когда у вас есть потенциал на одной круговой (или сферической) границе . Причина, по которой я показал преобразование Фурье выше, состоит в том, чтобы предположить, что все члены более высокого порядка быстро убывают с радиусом, и поэтому возможно, что я могу, по крайней мере, иметь вторую границу при очень большом r и «знать», что потенциал просто равен$q_{tot}/r$при стремлении r к бесконечности. Так что есть ощущение, что может пригодиться.

Итак, у меня есть три случая:$S_2$заключает$S_1$,$S_2$окружен$S_1$, или$S_2$пересекается$S_1$каким-то прямым образом.

Какие методы и допущения мне нужны, чтобы определить потенциал на$S_2$, учитывая потенциал на$S_1$, без необходимости возвращаться назад и снова генерировать какое-то решение для распределения генерирующей массы (или заряда)? Все или любой из трех случаев разрешим?

выше: иллюстрация одного из трех случаев - здесь$S_2$пересекается$S_1$.