Формула дифракции Кирхгофа с использованием длины волны электрона де Бройля

Да! Теорию дифракции Кирхгофа действительно можно применять как к световым волнам, так и к волнам материи. Первоначальный результат, на который вы ссылаетесь, может быть получен из скалярной теории, и мы, как обычно, имеем

$$\Psi(r') = \frac{1}{4\pi}\iint_S \left[ \Psi(r_S)e_n \cdot \nabla \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|} - \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|}e_n \cdot \nabla \Psi(r-S)\right]d^2r_S$$

что дает точное решение, учитывая значение решения на граничной поверхности$S$. Теперь я советую вам прочитать эту статью , в которой будет показан вывод аналога из уравнения Дирака.

Конечный результат даст нам,

$$\Psi(r') = -\frac{ik}{4\pi}\iint_S \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|} \left[1- \left( 1+\frac{i}{ks}\right)\gamma^j (\partial_js) \right]\gamma^n \Psi(r_s)\, d^2r_S$$

где$\Psi$вместо этого является спинором Дирака, и введено много новых обозначений; например$\gamma$здесь не совсем обычные гамма-матрицы, удовлетворяющие$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbb{1}$.

Аналог рассмотрения$\Psi(r) = \frac{e^{ikr}}{r}$в классическом волновом случае, примененном к этой формуле, полученной из уравнения Дирака, покажет, что для спинора Дирака, как мы ожидаем,

$$\Psi(r') \propto \iint \frac{e^{ik(r_0+s)}}{r_0 s}(1+\gamma^3) \gamma^3 \Psi(r_s)\, dS$$

при определенных граничных условиях.