Вывод распределения Ферми-Дирака?

Вывод распределения Ферми-Дирака с использованием формализма матрицы плотности происходит следующим образом:

Установка.

Мы предполагаем, что одночастичный гамильтониан имеет дискретный спектр, поэтому одночастичные собственные энергетические состояния помечены индексом$i$который пробегает некоторое конечное или счетно бесконечное множество индексов$I$. Базой гильбертова пространства системы является база числа заполнения

$$\begin{align} |\mathbf n\rangle = |n_0, n_1, \dots\rangle \end{align}$$ где $n_i$обозначает количество частиц, занимающих одночастичное собственное энергетическое состояние. $i$. Для системы невзаимодействующих одинаковых фермионов множество $\mathscr N_-$допустимых последовательностей заполнения $\mathbf n$состоит из таких последовательностей, каждая из которых $n_i$равно либо $0$или $1$. Позволять $H$— гамильтониан такой системы, и пусть $N$быть числовым оператором, то мы имеем $$\begin{align} H|\mathbf n\rangle = \left(\sum_{i\in I}n_i\epsilon_i\right)|\mathbf n\rangle, \qquad N|\mathbf n\rangle = \left(\sum_{i\in I} n_i\right) |\mathbf n\rangle \end{align}$$ где $\epsilon_i$это энергия собственного состояния $i$. Мы также можем определить наблюдаемую $N_i$который сообщает нам оккупационный номер $i^\mathrm{th}$одночастичное энергетическое состояние; $$\begin{align} N_i|\mathbf n\rangle = n_i|\mathbf n\rangle \end{align}$$

Обратите внимание, что мы пытаемся определить среднее по ансамблю число заполнения$j^\mathrm{th}$собственное энергетическое состояние. В формализме матрицы плотности это дается выражением

$$\begin{align} \langle n_j\rangle =\mathrm{tr}(\rho N_i) \end{align}$$ где $$\begin{align} \rho = \frac{e^{-\beta(H-\mu N)}}{Z}, \qquad Z = \mathrm {tr}\big(e^{-\beta(H-\mu N)}\big) \end{align}$$

Доказательство.

1. Покажи то $$\begin{align} Z = \sum_{\mathbf n\in \mathscr N_-}\prod_{i\in I}x_i^{n_i} \end{align}$$ где$x_j = e^{-\beta(\epsilon_j-\mu)}$, сумма по допустимым последовательностям$\mathbf n$чисел заполнения одночастичных энергетических состояний, а произведение по индексам$i$обозначение ортонормированного базиса собственных состояний энергии одной частицы.
2. Покажите, что среднее по ансамблю число заполнения$j^\mathrm{th}$состояние можно вычислить следующим образом: $$\begin{align} \langle n_j\rangle = x_j\frac{\partial}{\partial x_j}\ln Z \end{align}$$
3. Покажите, что произведение и сумму в статистической сумме можно «обменять», чтобы получить $$\begin{align} Z = \prod_{i\in I}\sum_{n=0}^1 x_i^n \end{align}$$ где произведение теперь находится по собственным состояниям энергии одной частицы, а сумма - по допустимым числам заполнения состояния одной частицы.
4. Объедините результаты шагов 2 и 3, чтобы показать, что $$\begin{align} \langle n_j\rangle = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}+1} \end{align}$$ что является желаемым результатом.