Общий вид, свойства

Форма Линдблада

$$\dot \rho = -i[\eta, \rho] + A \rho A^\dagger - \frac 12 A^\dagger A \rho - \frac 12 \rho A^\dagger A$$ обладает тремя важными свойствами:

1. Это по-прежнему линейная динамика, с точки зрения$\rho$.
2. Это бесследно независимо от следа$\rho$. Это означает, что общая сумма собственных значений, которая начинается с 1, не меняется.
3. Он оставляет$\dot\rho$Эрмитов, что важно, потому что только эрмитовы операторы имеют полностью вещественные собственные значения.
4. Обычно существуют простые критерии$\hat A$что я действительно больше не помню, которые обеспечивают положительность Линдбладиана, поэтому он никогда не переводит положительные собственные значения в отрицательные.

Таким образом, его общий физический смысл заключается в «неунитарной динамике, которую, тем не менее, можно смоделировать, не уничтожая нашу матрицу состояний».

Одна интерпретация, к которой вы всегда можете обратиться

Если вас не устраивает это определение, то самым распространенным неунитарным процессом в квантовой механике является измерение , поэтому позвольте мне показать вам, как вы можете интерпретировать любую форму Линдблада как непрерывное квантовое измерение . Это распространенный ^{[1] [2]} способ рассмотрения некоторых$\rho$с унитарной динамикой и соединением ее с непрерывным измерением системы.

Простое измерение выглядит так: мы приводим некоторый кубит с энергетическим гамильтонианом$\epsilon ~c^\dagger c$к системе, поместите ее в основное состояние$|0\rangle\langle 0|$, который мы можем записать как$c c^\dagger$короче. Предположим, что какой бы кубит ни состоял из коммутаций со всеми операторами и т. д., которые должным образом воздействуют на «систему».$\rho$. Затем кубит соединяется с системой с некоторым членом взаимодействия$\hat v^\dagger c^\dagger + \hat v c$, чрезвычайно общий.

В течение времени$dt/2$тогда система будет развиваться как

$$\rho ~cc^\dagger \mapsto \rho ~ c c^\dagger - i~\frac{dt}2\left([\eta, \rho] ~ c c^\dagger + \hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c\right)$$ Единственная проблема здесь в том, что эти последние термины все еще немного «в прошлом»; поэтому давайте разовьем каждый из этих терминов $\rho c$и $\rho c^\dagger$переслать другой $dt/2$найти эффект второго порядка: $$\begin{align} \rho ~c^\dagger \mapsto& \rho ~ c^\dagger - i~{dt\over 2}\left([\eta, \rho] ~ c^\dagger + \hat v \rho ~ c c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c^\dagger c\right)\\ \rho ~c \mapsto& \rho ~ c - i~{dt\over 2}\left([\eta, \rho] ~ c + \hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger c - \rho ~\hat v^\dagger~ c c^\dagger\right) \end{align}$$ Затем мы измеряем его в кубитах. $|0\rangle, |1\rangle$основе и отказаться от измерения . Это сворачивает кубит либо в $|0\rangle$или $|1\rangle$и поэтому $|0\rangle\langle 1| = c$и $|1\rangle\langle 0| = c^\dagger$с точки зрения матрицы плотности, поэтому давайте посмотрим только на $c c^\dagger$и $c^\dagger c$сроки: $$\rho ~cc^\dagger \mapsto \rho ~ c c^\dagger - i~ dt [\eta, \rho] ~ c c^\dagger -\frac{dt^2}4 \left( \hat v^\dagger (\hat v \rho ~ c c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c^\dagger c) - ~(\hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger c - \rho ~\hat v^\dagger~ c c^\dagger)~\hat v\right)$$ Мы видим, что $\hat v^\dagger \rho \hat v$термины соответствуют $c^\dagger c$и, по-видимому, разрушить всю систему бесконечно мало, что-то вроде $|\psi\rangle \mapsto |\psi\rangle + \sqrt{dt} v^\dagger |\psi\rangle.$Обычно в учебниках/статьях говорится, что «мы измеряем $\sqrt{dt} \hat v^\dagger$" или около того; это реальная интерпретация: асимптотически сильная связь, которая не растет так быстро, как интервал измерения, к которому мы ее применяем, так что мы получаем удлинение состояния из-за квантового эффекта Зенона .

Путем «отслеживания» кубита, что вы делаете, когда хотите получить эффективную матрицу плотности системы для всех эрмитовых системных операторов, генерирующих ожидаемые значения и определяя$A = \sqrt{dt/2} ~ \hat v^\dagger$, этот физический процесс соответствует первому уравнению, которое я написал. Следовательно, это предел системы, связанной с кубитом, который вы измеряете каждый период времени.$dt$, который связан с системой гамильтонианом взаимодействия$(A c^\dagger + A^\dagger c)/\sqrt{dt/2}.$

Другие источники

Вы часто можете получить очень похожие выражения, когда, скажем, вы слабо связываете свою систему с бесконечной ванной бозонов, поскольку они также могут вызывать постоянную декогерентность аналогичным образом. Если вам нужны примеры, учебник Уайзмана « Квантовое измерение и управление » может вам подойти. (Я думаю, что у него, например, был лазерный резонатор, который естественным образом стремился к тому выражению, где$A$был просто аннигилятором бозонов в полости, что объясняет, что они приходят в когерентное состояние.) Если у вас нет его в вашей библиотеке, эта статья arXiv , также связанная выше, охватывает большую часть той же области. Модным словом является «квантовые траектории», которое также охватывает моделирование квантовых систем при добавлении измерений.

Предположим, что у вас нет этого оператора, а есть только самосопряженная гамильтонова часть. Это означает, что у вас есть обычное уравнение Шредингера (или уравнение Лиувилля, так как оно для матрицы плотности)

$$i \dot{\rho}=[H,\rho]$$

и решение будет$\rho(t)=e^{iHt}\rho(0)e^{-iHt}$, следовательно, решение будет развиваться в соответствии с (строго непрерывной) унитарной группой, связанной с вашим гамильтонианом. Другими словами, в любое время ваша матрица плотности является просто унитарным сопряжением матрицы плотности, с которой вы начали. В частности, его спектр никогда не изменится. Это означает (например), что если вы начинаете с чистого состояния (проекции первого ранга), вы всегда будете оставаться в чистом состоянии.

Поведение, которое мы только что описали, является поведением закрытой системы. Теперь предположим, что у нас нет закрытой системы, но где-то у нас есть среда, которая взаимодействует с нашей системой. В частности, вы можете принять ванну и увидеть такие эффекты, как термализация (что означает, что спектр$\rho$надо менять!). Конечно, вы можете попытаться смоделировать ванну + систему с помощью гамильтонианов, а затем решить всю систему, но вы также можете напрямую проследить ванну и посмотреть на уравнение эволюции для оставшейся интересующей вас системы.

При довольно общих предположениях (однородность по времени, марковианство) уравнение, которое вы получите, является уравнением Линдблада . Гамильтонова часть — это гамильтонова часть вашей системы, а дополнительные члены (которые во многих случаях являются оператором Линдблада) описывают влияние окружающей среды. Другими словами, если вы можете эмпирически угадать правильную форму супероператора Линдблада, вам не нужно беспокоиться о том, что вы не сможете смоделировать всю замкнутую систему (или забыть часть ее). По сути, это то, что известно как парадигма «открытых квантовых систем».

Вкратце: оператор Lindblad описывает взаимодействие вашей системы с окружающей средой и моделирует влияние среды на модель. Это может быть что угодно. Например, может случиться так, что вы заинтересованы в описании эксперимента с двумя щелями с электронами. Гамильтоновой частью будут электроны и щель, но вы действительно не знаете всех остальных частиц вокруг, у вас нет квантового описания источника фотонов (или оно сложное), и у вас нет квантового описания вашей процедуры измерения и т. д. Но все эти вещи взаимодействуют с вашими измерениями, поэтому вы можете принять их во внимание (например, если вы хотите увидеть декогеренцию). Вывод из вышесказанного состоит в том, что их влияние на вашу систему как раз и задается оператором Lindblad.

Как найти линдбладианца в той или иной ситуации? Это совсем другая история, о которой я мало что знаю...

Одна деталь

Первое, что я хотел бы отметить, это то, что оператор, о котором вы говорите, называется супероператором Линдблада. Супероператор подобен оператору, который действует на другие линейные операторы (в данном случае на матрицу плотности).

Уравнение Линдблада

То, что вы написали, известно как уравнение Линдблада. Уравнение Линдблада является одним из примеров многих уравнений, используемых для описания динамики открытых квантовых систем. Уравнение Линдблада имеет общий вид

$$\dot \rho = -i[H, \rho] + [ \sum \gamma (A \rho A^\dagger - \frac 12 A^\dagger A \rho - \frac 12 \rho A^\dagger A)]$$ где часть в скобках известна как супероператор Линдблада. Следовательно, это уравнение можно переписать в виде: $$\dot \rho= -i[H, \rho] + L(\rho)$$

Подробнее

Супероператор Линдблада моделирует условия окружающей среды, составляющие открытую квантовую систему, такие как расфазировка и релаксация. Оператор$A$известен как оператор коллапса, и он важен для определения того, что описывает супероператор Линдблада. Это оператор, через который среда соединяется с системой. Различные операторы коллапса описывают разные аспекты среды.

$\gamma$— важная константа, которая обычно описывает скорость расфазировки, скорость перефазировки, скорость релаксации и т. д. По сути, это соответствующая скорость взаимодействия среды с системой. Это также важно для основного уравнения. Обратите внимание, что всякий раз, когда эта константа равна нулю, мы получаем квантовое уравнение Лиовиля для замкнутой системы без каких-либо воздействий окружающей среды.

Последнее, что я хотел бы добавить, это то, что вы можете добавить столько супероператоров Линдблада к коммутатору, чтобы описать различные условия окружающей среды. Одно можно описать для перефазировки, другое для расфазировки и т. д. Все зависит от окружения квантовой системы.

Таким образом, супероператор Lindblad моделирует взаимодействие окружающей среды с системой. Без него вы получите модель закрытой системы без воздействия окружающей среды. Вот почему термин L важен.

Дополнительные ресурсы

Если вы хотите узнать больше, вам следует изучить открытые квантовые системы. Вот ссылка для начала. Эта ссылка также пригодилась мне, когда я изучал открытые квантовые системы. А вот и оригинальная статья Линдблада об уравнении Линдблада