Формулировка и вероятность волновой функции [закрыто]

Я помогу вам ответить на ваш второй вопрос.

Но сначала есть некоторые трудности с проблемой, которую вам дали. Во-первых, ваш вопрос не полностью определен: вам нужен сам гамильтониан, поэтому вам нужен хотя бы потенциал$V(x)$. Выражение для$E_n$вам дается либо квантовый гармонический осциллятор, либо бесконечный колодец. Во-вторых, в вашем начальном квантовом состоянии опечатка. Два неравенства в определении следует читать$|x|<a$и$|x|>a$(нет$|x|<0$, которого нет$x\in\mathbb{R}$исполняет!).

Поэтому я предполагаю, что бесконечная скважина связана с методом рядов Фурье ответа Ахметели .

Как и в ответе akmetieli, вы расширяете квантовое состояние в собственных состояниях энергии.$\mathcal{N}^{-1} \cos\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{a}x\right);\,n=0,1,2,\cdots$(когда$|x|<a$, ничего вне интервала), соответствующие энергиям$E_n$(здесь$\mathcal{N}$это нормализация, чтобы сделать$\int_{-a}^a|\psi|^2dx=1$.

Обратите внимание, что это дискретная серия. Энергия не принимает непрерывных значений, поэтому квадрат величины вашего ряда Фурье (не целочисленный, как для непрерывно меняющейся энергии) веса представляет собой вероятность, а не плотность вероятности того, что квантовое состояние будет найдено в каждой энергии.

Поэтому, когда вы составляете свой ряд Фурье, вы должны проверить, что$\sum_n |w_n|^2 = 1$, где$w_n$— веса ряда Фурье.

Теперь вероятность$|w_n|^2$не меняется со временем. Фаза$w_n$делает, поэтому собственные энергетические состояния интерферируют друг с другом, давая изменяющуюся во времени волновую функцию, но вероятности находиться в каждом собственном энергетическом состоянии постоянны. Так что вам даже не нужно знать время, когда вы рассчитываете свою вероятность.

Это должно позволить вам закончить свой вопрос.

Следующий этап: Поскольку вы имеете дело с квантовым гармоническим осциллятором, ваши собственные энергетические состояния представляют собой следующий набор:

где$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)$это$n^{th}$полином Эрмита.

Эти собственные функции ортогональны в том смысле, что:

т.е. "внутренний продукт" равен нулю для различных дискретных собственных функций энергии и 1 для$n=m$, так что каждое собственное состояние «нормализовано» или, как говорят, имеет единичную «длину» в гильбертовом пространстве, натянутом на собственные состояния энергии (не волнуйтесь, если вы не понимаете всего этого; это виды утверждений, которые станут все более и более привычен к вам, если вы продолжаете заниматься самообразованием). Вышеупомянутая ортогональность является ключом к тому типу разложения, о котором мы с Ахметели говорили: любое начальное квантовое состояние$\psi(x)$можно разложить на собственные энергетические состояния, если предположить:

затем умножив обе части (3) на$m^{th}$собственное состояние по очереди и интегрируя по всему вещественному интервалу, применяя (2), чтобы найти (отмечая, что мы можем интегрировать ряд почленно):

Теперь это область спектральной теории, которая показывает, что наш набор собственных функций (1) является полным , т. е . что сумма вида (3) действительно может представлять (в соответствующем теоретико-мерном смысле) любую кусочно-непрерывную$\psi(x)$выполнение$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 {\rm d}x < \infty$, что, конечно, верно для действительных квантовых состояний, поскольку мы должны иметь$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 {\rm d}x =1$(это просто необходимое условие для$|\psi(x)|^2$быть плотностью вероятности в$x$).

В конце концов вы узнаете, что эта «ортогональность» является свойством всех собственных функций любой квантовой наблюдаемой, а не только гамильтониана. Этот результат приходит к нам из теории Штурма-Лиувилля и обусловлен самосопряженностью квантовых наблюдаемых (в более общем случае он верен для любого нормального оператора — такого, который коммутирует со своим собственным сопряженным).

Наконец, обратите внимание, что, поскольку$\psi_n(x)$это$n^{th}$собственная функция энергии, ее полная пространственная и временная вариация$\psi_n(x, t) = \psi_n(x) \exp(-i E_n t/\hbar)$. Итак, как только вы преобразовали начальное квантовое состояние в суперпозицию, подобную (3), вы можете записать его общую зависимость от времени:

Это должно позволить вам продвинуться немного дальше!

Вы не можете «просто умножить» на показатель степени, поскольку функция не является собственным состоянием свободного гамильтониана (я предполагаю, что в задаче предполагается свободный гамильтониан (без потенциала)). Поэтому следует разложить исходную функцию в ряд Фурье (сумму собственных состояний импульса) и только потом умножить члены разложения на показатели степени с соответствующими энергиями.

РЕДАКТИРОВАТЬ (3.11.2013): Поскольку гамильтониан оказывается осциллятором, вы должны разложить функцию в ряд по собственным состояниям гамильтониана. См. http://www.gauge-institute.org/delta/HermiteDelta.pdf , формулы в конце стр. 10 и в начале стр. 11.