Вероятность нахождения частицы в левом боку в момент времени ttt

У меня проблема с частицей в коробке шириной$a$. Я пытаюсь найти вероятность найти частицу на левой стороне коробки в момент времени$t$. Волновая функция на$t=0$дан кем-то

$$|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |\phi_1\rangle + \frac{1}{2}|\phi_2\rangle + \frac{1}{2} |\phi_3\rangle,$$

где$\phi_n$волновая функция порядка$n$.

Моя попытка: я рассчитал и нормализовал не зависящие от времени волновые функции$\phi_n$и использовал оператор временной эволюции, чтобы записать зависящие от времени волновые функции

$$|\psi(t)\rangle=\frac{e^{i E_{1} t / \hbar}}{\sqrt{2}}\left|\phi_{1}\right\rangle+\frac{e^{-i E_{2} t / \hbar}}{2}\left|\phi_{2}\right\rangle+\frac{e^{-i E_{3} t / \hbar}}{2}\left|\phi_{3}\right\rangle,$$

со знаменитым результатом

$$|\phi_n \rangle = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left( n \pi \frac{x}{a} \right).$$

Чтобы найти вероятность, которую я пытался вычислить

$$P(0 < x < a/2) = \left| \int_0^{a/2} \psi^*(t) \psi(t) dx \right|^2 \\ = \frac{\left(20 \sqrt{2} \cos \left( \frac{(E_2-E_1)}{\hbar} t \right) + 12 \cos \left(\frac{(E_3-E_2)}{\hbar} t \right)+15 \pi \right)^2}{900 \pi ^2}$$

Чтобы убедиться, что мой ответ имеет смысл, сначала я проверил, что

$$P(0<x<a)=1.$$

Но теперь, когда я смотрю на левосторонние и правосторонние вероятности, они не складываются в единицу.

$$P(0<x<a/2) = 0.86, P(a/2<x<a) = 0.005$$

Что я делаю не так?