Фраза «след аномалии», по-видимому, используется двумя разными способами. Какая связь между ними?

Хорошую аналогию различия между ними можно провести с точки зрения двух других примеров аномалий, которые, возможно, более знакомы.

Рассмотрим теорию поля с глобальной симметрией, возьмем$U(1)$для простоты. На классическом уровне уравнения движения приводят к существованию сохраняющегося тока (теорема Нётер).

На квантовом уровне закон сохранения тока действует как операторное уравнение, а именно в корреляторах в разделенных точках . Два связанных, но очень разных по своей природе эффекта, называемых аномалиями, таковы:

1) В корреляторах могут существовать контактные члены (т. е. члены, которые отличны от нуля только тогда, когда два или более операторов в корреляторе оцениваются в одной и той же точке), которые не соответствуют операторному уравнению. В четырехмерной теории поля это обычно происходит в корреляторах трех операторов тока. Это то, что иногда называют аномалией 'т Хофта. Это не представляет собой нарушение симметрии, потому что сохранение оператора тока все еще справедливо в разделенных точках, и все еще получается сохраняющийся заряд. Однако это приводит к интересным ограничениям (коэффициенты таких контактных членов должны совпадать между UV и IR, если симметрия не нарушается вдоль потока RG).

2) Могут быть квантовые эффекты (вы можете думать о них как о петлевых поправках, предполагая, что мы находимся в пертурбативной обстановке), которые нарушают операторное уравнение даже в разделенных точках . В этом случае симметрия нарушается, как если бы вы добавили член в лагранжиан, который не соблюдает симметрию. Сохраняющегося заряда больше нет.

Связь между 1) и 2) можно пояснить на несколько уточненном примере. Примем глобальную симметрию за$U(1)^2$. Тогда у вас может быть аномалия типа 1) в корреляторе с участием одного тока первого$U(1)$, и два тока второго$U(1)$. Теперь предположим, что мы модифицируем теорию, измерив второй$U(1)$, т.е. связывание тока второго$U(1)$к динамическим калибровочным полям. В новой калибровочной теории первое$U(1)$нарушена аномалией типа 2). Дивергенция его тока теперь отлична от нуля и определяется понтрягинской плотностью калибровочных полей второго$U(1)$.

Первый пример трассовой аномалии, которую вы обсуждаете, является аналогом 1), а второй — аналогом 2), когда вместо глобальной$U(1)$мы рассматриваем дилатационную симметрию. Первый пример не является нарушением симметрии, это просто утверждение, что некоторые контактные члены в корреляторах с многократными вставками тензора энергии-импульса несовместимы с условием бесследовости. Вместо этого второй пример является подлинным нарушением симметрии. Аналогия с$U(1)$симметрия не проходит, когда мы пытаемся связать 1) с 2), потому что эквивалентом «связывания тока с калибровочным полем» было бы введение динамической гравитации, которая уводит нас от области квантовой теории поля.

Эта аналогия становится очень конкретной в суперсимметричных теориях. Там тензор энергии-импульса принадлежит тому же мультиплету тока, связанному с так называемой R-симметрией. Суперсимметрия связывает аномалию 'т Хоофта этого тока с первым видом аномалии следа, который вы обсуждаете (т.е. они имеют одинаковый коэффициент). Более того, когда дилатационная симметрия нарушается калибровочной связью через обсуждаемую вами аномалию следа второго типа, то ток имеет аномалию типа 2). Опять же, аномалия следа и текущая аномалия имеют один и тот же коэффициент по суперсимметрии.

Два вида аномалий следа связаны, но различны. Первое, на что вы ссылаетесь, — это аномалия в преобразованиях Вейля, возникающая, когда вы помещаете КТП на изогнутый фон. КТП по-прежнему точно конформно инвариантна в плоском пространстве, но эта симметрия нарушается фоновым гравитационным полем. Полезно думать о КТП в двух измерениях, например о свободном безмассовом скаляре. Для этих теорий, если вы масштабируете метрику конформным коэффициентом$\exp(2\omega)$, то статистическая сумма инвариантна с точностью до члена Лиувилля,$Z[\exp(2\omega)\delta_{ab}]=Z[\delta_{ab}]\exp(\int R\Box^{-1}R)$, где я опустил такие факторы, как 48 и$\pi^2$. Вы можете увидеть это, используя размерную регуляризацию, если хотите выполнить вычисление.

Второй вид аномалии следа, о которой вы спрашивали, называется аномалией оператора и возникает даже в плоском пространстве. Это происходит, когда у вас есть теория, которая является классически конформно-инвариантной, но не квантово-инвариантной. Вы привели хороший пример калибровочной теории (хотя теория свободного поля Максвелла на самом деле не является CFT за пределами 4 измерений! См. http://arxiv.org/pdf/1101.5385.pdf ). Другим хорошим примером является теория мирового листа для теории струн на искривленном фоне, т. е. нелинейная сигма-модель.

Вообще теория поля имеет оба вида аномалий следа. Если это CFT, то он не имеет операторного типа.

PS вы же просили приложения операторской трассировки аномалии. Это и есть бета-функция теории, и из нее следует вся теория ренормализационной группы. Самым известным применением этого в физике элементарных частиц, вероятно, является использование асимптотической свободы для понимания поведения высоких энергий в КХД при слабой связи.