Фермионные антикоммутационные соотношения

Question

Фермионные антикоммутационные соотношения

чистая игра

Чтобы фермионы следовали принципу запрета Паули, нам нужны эти антикоммутаторы

[а_{λ}, а_{λ}]_{+} "=" 0

$[a_{\lambda},a_{\lambda}]_+=0$ и

[а_{λ}^{†}, а_{λ}^{†}]_{+} "=" 0

$[a_{\lambda}^{\dagger},a_{\lambda}^{\dagger}]_+=0$ Затем

н_{λ}^{2} "=" а_{λ}^{†} а_{λ} а_{λ}^{†} а_{λ} "=" а_{λ}^{†} (1 - а_{λ}^{†} а_{λ}) а_{λ} "=" а_{λ}^{†} а_{λ} "=" н_{λ} .

$n_{\lambda}^{2}=a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}=a_{\lambda}^{\dagger}\left(1-a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}\right)a_{\lambda}=a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}=n_{\lambda}.$ который дает

n_{λ} = 0, 1

$n_{\lambda}=0,1$ . Здесь мы использовали антикоммутатор

[а_{λ}, а_{λ^{'}}^{†}]_{+} "=" {дельта}_{λ, λ^{'}}

$[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_+= \delta_{\lambda,\lambda^{\prime}}$ Но мы могли бы использовать даже коммутатор вместо антикоммутатора и все равно получить тот же результат, т.е. если бы мы выбрали

[a_{λ}, a_{λ^{'}}^{†}]_{-} = δ_{λ, λ^{'}}

$[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_{-}=\delta_{\lambda,\lambda^{\prime}}$ затем

n_{λ}^{2} = a_{λ}^{†} a_{λ} a_{λ}^{†} a_{λ} = a_{λ}^{†} (1 + a_{λ}^{†} a_{λ}) a_{λ} = a_{λ}^{†} a_{λ} = n_{λ}

$n_{\lambda}^{2}=a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}=a_{\lambda}^{\dagger}\left(1+a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}\right)a_{\lambda}=a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}=n_{\lambda}$ что также дает

n_{λ} = 0, 1

$n_{\lambda}=0,1$
Какие условия заставляют наложить последнее антикоммутационное соотношение

[а_{λ}, а_{λ^{'}}^{†}]_{+} "=" {дельта}_{λ, λ^{'}}

$[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_+= \delta_{\lambda,\lambda^{\prime}}$ вместо

[a_{λ}, a_{λ^{'}}^{†}]_{-} = δ_{λ, λ^{'}}

$[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_{-}=\delta_{\lambda,\lambda^{\prime}}$ ?

Я имею в виду, что нам не нужно, чтобы все отношения были антикоммутирующими. Я могу считать, что 2 из них являются антикоммутирующими, но третий, т.е. связь между оператором создания и уничтожения, является коммутирующим и по-прежнему поддерживает исключение Паули.

джошфизика

Возможно, мои глаза меня обманывают, но кажется, что вы действительно использовали антикоммутатор, о котором спрашивали, во втором равенстве после «потому что».

чистая игра

@joshphysics внес изменения. Я имею в виду, что я мог бы использовать даже коммутатор вместо антикоммутатора и все равно получить тот же результат.

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q/ 17893/2451

чистая игра

@Qmechanic: спасибо, хотя это и отвечает на вопрос, но для меня это немного расплывчато.

Ответы (3)

Фермионные антикоммутационные соотношения

Возможно, мои глаза меня обманывают, но кажется, что вы действительно использовали антикоммутатор, о котором спрашивали, во втором равенстве после «потому что».
@joshphysics внес изменения. Я имею в виду, что я мог бы использовать даже коммутатор вместо антикоммутатора и все равно получить тот же результат.
Связанный: физика.stackexchange.com/q/ 17893/2451
@Qmechanic: спасибо, хотя это и отвечает на вопрос, но для меня это немного расплывчато.

Луи Ян · Answer 1

Предполагать $a$ и $a^{+}$ операторы удовлетворяют

{а, а} "=" 0 и [а, а^{+}] "=" 1

$\left\{ a,a\right\} =0\mbox{ and }\left[a,a^{+}\right]=1$ У нас в основном

a^{2} = 0

$a^{2}=0$ и

a a^{+} = a^{+} a + 1

$aa^{+}=a^{+}a+1$ .

Теперь рассмотрим $aaa^{+}$ .

0 "=" а а а^{+} "=" а (а^{+} а + 1) "=" а а^{+} а + а "=" а^{+} а а + 2 а "=" 2 а .

$0=aaa^{+}=a\left(a^{+}a+1\right)=aa^{+}a+a=a^{+}aa+2a=2a.$

Итак, мы получаем $a=0$ .

Любош Мотл · Answer 2

Нам это нужно, потому что мы хотим, чтобы «оккупированное» государство имело $n_\lambda=1$ ; я опущу $\lambda$ спор везде. Другими словами, нам нужно

н а^{†} | 0 ⟩ \equiv а^{†} а а^{†} | 0 ⟩ "=" 1 \cdot а^{†}

$n a^\dagger |0\rangle \equiv a^\dagger a a^\dagger |0\rangle = 1\cdot a^\dagger$ Но в левой части есть оператор, который

а^{†} а а^{†} | 0 ⟩ "=" а^{†} ([а, а^{†}]_{+} - а^{†} а) "=" а^{†} [а, а^{†}]_{+}

$a^\dagger a a^\dagger |0\rangle = a^\dagger ([a,a^\dagger]_+ - a^\dagger a) = a^\dagger [a,a^\dagger]_+$ где последний член был опущен в последнем термине, потому что

(a^{†})^{2} = 0

$(a^\dagger)^2=0$ . Поэтому мы требуем

а^{†} [а, а^{†}]_{+} | 0 ⟩ "=" а^{†} | 0 ⟩ .

$a^\dagger[a,a^\dagger]_+ |0\rangle = a^\dagger|0\rangle.$ В сочетании с другими вашими условиями это возможно только при условии, что антикоммутатор один — мы можем «отменить»

| 0 ⟩

$|0\rangle$ ket, поскольку аналогичное условие может быть получено для

| 1 ⟩

$|1\rangle$ как кет-вектор.

@Motl Я имею в виду, что мы также могли бы использовать коммутатор $[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_{-}=\delta_{\lambda,\lambda^{\prime}}$ и все равно получить тот же результат. Почему я должен использовать только антикоммутатор? Я могу использовать антикоммутаторы $[а_{λ}, а_{λ}]_{+} "=" 0$ $[a_{\lambda},a_{\lambda}]_+=0$ и $[а_{λ}^{†}, а_{λ}^{†}]_{+} "=" 0,$ $[a_{\lambda}^{\dagger},a_{\lambda}^{\dagger}]_+=0,$ вместе с $[а_{λ}, а_{λ^{'}}^{†}]_{-} "=" {дельта}_{λ, λ^{'}}$ $[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_{-}=\delta_{\lambda,\lambda^{\prime}}$

Тримок · Answer 3

Вы явно ошибаетесь.

Когда у вас есть операторы с антикоммутационными отношениями, у вас есть:

\begin{matrix} (1) & {а^{+}}_{λ} {а^{+}}_{λ^{'}} + {а^{+}}_{λ^{'}} {а^{+}}_{λ} "=" 0 \end{matrix}

${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda'} + {a^+}_{\lambda'} {a^+}_{\lambda} = 0 \tag{1}$

Принимая $\lambda = \lambda'$ , Вы получаете :

\begin{matrix} (2) & {а^{+}}_{λ} {а^{+}}_{λ} "=" 0 \end{matrix}

${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda} = 0 \tag{2}$

Если у вас есть операторы с коммутационными соотношениями, у вас есть:

\begin{matrix} (3) & {а^{+}}_{λ} {а^{+}}_{λ^{'}} - {а^{+}}_{λ^{'}} {а^{+}}_{λ} "=" 0 \end{matrix}

${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda'} - {a^+}_{\lambda'} {a^+}_{\lambda} = 0 \tag{3}$

Принимая $\lambda = \lambda'$ , Вы получаете :

\begin{matrix} (4) & {а^{+}}_{λ} {а^{+}}_{λ} - {а^{+}}_{λ} {а^{+}}_{λ} "=" 0 \end{matrix}

${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda} - {a^+}_{\lambda} {a^+}_{\lambda} = 0 \tag{4}$ что является тривиальным уравнением (

x = x

$x=x$ )

Итак, с коммутационными соотношениями неверно, что у вас есть: ${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda} = 0$ , поэтому ваше уравнение $n_\lambda ^2=n_\lambda$ очевидно неверно для операторов с коммутационными соотношениями.

Мой вопрос касается только последнего антикоммутационного соотношения, которое вы не использовали в своем доказательстве. Я понимаю, что вам нужны два антикоммутационных соотношения, которые вы использовали, чтобы доказать принцип запрета Паули. Мой вопрос заключается в том, на каком основании мы выбираем третье отношение, т. е. отношение оператора рождения и уничтожения, чтобы оно было антикоммутаторным, а не коммутаторным типом. Прочитайте мой комментарий в ответ на ответ Любоша Мотла.
@cleanplay: Это другой вопрос ... Короче говоря, это связано с теоремой о спиновой статистике. Например, в квантовой теории поля, если вы напишете гамильтониан для фермионного поля (например, поля Дирака), вы найдете что-то вроде $H = \sum_k (b^+_kb_k - d_kd^+_k)$ ( $b$ касается частиц и $d$ относится к античастицам). Но этот гамильтониан должен быть ограничен снизу, и вы должны выбрать антикоммутационные соотношения, чтобы иметь $H = \sum_k (b^+_kb_k + d^+_k d_k)$ , вплоть до (бесконечной) константы.

Фермионные антикоммутационные соотношения

чистая игра

джошфизика

чистая игра

Qмеханик

чистая игра

Ответы (3)

Луи Ян

Любош Мотл

чистая игра

Тримок

чистая игра

Тримок

Коммутация операторов углового и линейного количества движения

Фермионный гамильтониан: вопросы преобразования Боголюбова и эрмитовости

Зачем нужны антикоммутаторы при квантовании полей Дирака?

Каков физический смысл антикоммутатора в квантовой механике?

Связанный на фермионах в конечном объеме?

Матричное представление для фермионного оператора аннигиляции

Функционал Вигнера для фермионных полей (КТП в фазовом пространстве)

Катастрофа квантового оператора

Всегда ли составные бозоны бозонны (например, пионное облако, окружающее ядра)?

Почему фермионные поля должны антикоммутировать, а бозоны коммутировать?