Связанный на фермионах в конечном объеме?

Во-первых, уточнение.

Хотя неправильно думать о них как о точечных частицах...

Это очень важно. Состояние частицы в ящике не может быть описано набором координат положения.

Рассмотрим одномерную коробку длины$L$с двумя неразличимыми фермионами внутри него. Волновая функция системы двух частиц$f(x_1,x_2)$должны подчиняться граничным условиям$f(0,x_2)=f(L,x_2)=f(x_1,0)=f(x_1,L)=0$(Для простоты я буду игнорировать нормализацию).

Вы можете интерпретировать$x_1$и$x_2$как координаты «положения» двух фермионов по аналогии с проблемой одной частицы в ящике из элементарной квантовой механики. Условие (фермионной) неразличимости накладывает дополнительное ограничение на состояние, а именно, что$f(x_1,x_2)=-f(x_2,x_1)$.

Какие функции подчиняются этим условиям? Что ж, собственные энергетические состояния одной частицы одномерной частицы в ящике принимают форму

поэтому можно предположить, что функция

Это подчиняется граничным условиям, но не подчиняется условию антисимметрии - правильная антисимметричная версия

так что же это состояние (точнее, плотность вероятности$|f(x_1,x_2)|^2$) выглядит как?

Помните, что$|f(x_1,x_2)|^2| dx_1 dx_2$есть вероятность измерения одного фермиона в интервале$[x_1, x_1+dx_1]$и один в промежутке$[x_2,x_2+dx_2]$. Как и ожидалось, вдоль линии$x_1=x_2$, волновая функция равна нулю — физически это означает, что вероятность измерения двух неразличимых фермионов в одном и том же бесконечно малом интервале в одномерном ящике равна нулю.

Кроме того, если мы зафиксируем$x_1$в каком-то положении (скажем,$x_1=0.25$), то мы видим, что вероятность найти другую частицу рядом с этим положением исчезающе мала и имеет максимум на другой стороне ящика (около$x_2=0.75$).

Если мы используем более сложные состояния (скажем,$n=2$и$n=4$), мы получаем более сложные функции плотности вероятности

но у нас всегда будет так$x_1=x_2 \implies f(x_1,x_2)=0$из-за условия асимметрии фермионных волновых функций.

Теперь к вашим вопросам.

Что держит$\epsilon$изменяться при всех значениях$[0,1]$так что в шаре радиусом буквально несчетное количество частиц$1$в центре$(x,y,z)$?

Я действительно не знаю, как вообще можно описать неисчислимое количество частиц, так что давайте поставим точку. Может быть, кто-то еще может дать удовлетворительный ответ.

Что держит$\epsilon$от варьироваться как$\epsilon = \frac{1}{n}$для всех$n\in\mathbb N$так что в шаре радиуса 1 с центром в точке находится счетное число фермионов.$(x,y,z)$?

Ничего.

Двухчастичная фермионная волновая функция может быть любой функцией$f(x_1,x_2)$который подчиняется граничным условиям и является антисимметричным. Фермионная волновая функция N-частиц может быть любой функцией$f(x_1,x_2,\ldots,x_N)$которая подчиняется граничным условиям и антисимметрична во всех$N$своих записей.

Если вы считаете, что ваши одночастичные волновые функции представляют собой, например, остроконечные гауссовы, то ничто не мешает вам добавить столько из них, сколько вы хотите, к вашему ящику — до тех пор, пока общая волновая функция антисимметрична . Учитывая любой желаемый набор$N$одночастичных волновых функций, вы можете использовать определитель Слейтера , чтобы найти подходящую антисимметричную комбинацию.

Конечно, эта антисимметрия будет означать, что вероятность измерения любых двух частиц в одном и том же бесконечно малом интервале равна нулю.

Есть ли способ разместить счетное число фермионов в шаре конечного радиуса?

Конечно. Если мы рассмотрим только собственные энергетические состояния (что нам не нужно делать, но мы, безусловно, можем ), то вы сможете увидеть, что, хотя у нас не может быть двух частиц в одном и том же собственном энергетическом состоянии, мы можем иметь одну частицу в состояние$1$, один в состоянии$2$, один в состоянии$3$, и так далее. Мы можем добавить произвольно большое количество частиц в наш ящик, пока мы платим цену, заключающуюся в том, что каждая добавляемая частица должна иметь более высокую энергию, чем предыдущая. Это концепция, лежащая в основе уровня Ферми , ключевой идеи в физике твердого тела.

Нет, такой границы нет. Самый простой способ увидеть это на основе единиц. Данный$m$и$h$, нет способа сформировать количество с единицами плотности.

В контексте общей теории относительности в лежащей в основе квантовой механике фермионного поля материи нет ничего, что могло бы привести к уравнению состояния, которое предотвратило бы сингулярности сильной кривизны. Описание того, что такое сингулярность сильной кривизны, см. в Rudniki et al., «Обобщенные сингулярности сильной кривизны и космическая цензура», https://arxiv.org/abs/gr-qc/0203063 .

Короткий ответ — ДА, потому что обычно в любом конечном объеме будет доступно бесконечное количество состояний. Если сделать число частиц внутри объема сколь угодно большим, то и высший занятый энергетический уровень тоже должен быть сколь угодно большим, но это не принципиальная проблема. Это основная идея газа Ферми , так называется ситуация, которую вы описываете.