Фермионный гамильтониан: вопросы преобразования Боголюбова и эрмитовости

В разделе 2.A.2 книги « Квантовые фазы Изинга и переход в поперечных моделях Изинга» Suzuki, et. др. при выводе преобразования Боголюбова для гамильтониана авторы приводят следующее

$H = \sum_{ij} c_i^\dagger A_{ij} c_j +\frac{1}{2} \sum_{ij}c_i^\dagger B_{ij}c_j^\dagger$

с$A$Эрмитов и$B$антисимметричный и$c_i$Фермионные операторы.

Делается линейное преобразование вида

$$\eta_q = \sum_i \left( g_{qi}c_i+h_{qi}c_i^\dagger \right)$$

$$\eta_q^\dagger = \sum_i \left( g_{qi}c_i^\dagger + h_{qi}c_i \right)$$

где$g_{qi}$и$h_{qi}$можно выбрать реальным. Для$\eta_q$чтобы удовлетворить фермионным антикоммутационным соотношениям, мы требуем

$$\sum_i \left( g_{qi}g_{q'i} + h_{qi}h_{q'i} \right) = \delta_{qq'}$$ $$\sum_i \left( g_{qi}h_{q'i} - g_{q'i}h_{qi} \right) = \delta_{qq'}$$

Мои вопросы следующие:

1. Я понимаю, почему, если$B =0$,$A$будучи эрмитовой матрицей, гарантирует, что$H$является эрмитовым оператором. Но я не понимаю, как этот гамильтониан является эрмитовым для ненулевого$B$.

2. Я не вижу, как второе уравнение

   $$\sum_i \left( g_{qi}h_{q'i} - g_{q'i}h_{qi} \right) = \delta_{qq'}$$ следует. Я вижу, что если исходит из$[ \eta_q, \eta_{q'}]_+ = 0$

Но когда я делаю вычисление$[ \eta_q, \eta_{q'}]_+$Я получил:

$$\begin{align} [ \eta_q, \eta_{q'}]+ &= [\sum_i \left( g_{qi}c_i+h_{qi}c_i^\dagger \right), \sum_j \left( g_{q'j}c_j+h_{q'j}c_j^\dagger \right) ]_+ \\ &= \sum_{ij} g_{qi}g_{q'j} [c_i,c_j]_+ + g_{qi}h_{q'j} [c_i,c_j^\dagger]_+ h_{qi}g_{q'j} [c_i^\dagger, c_j]_+ + h_{qi}h_{q'j} [c_i^\dagger,c_j^\dagger]_+ \end{align}$$

Затем, используя, что$[c_i,c_j]_+ = [c_i^\dagger,c_j^\dagger,]_+ = 0$и$[c_i,c_j^\dagger]_+ = [c_i^\dagger, c_j]_+ = \delta_{ij}I$, мы получаем

$$\sum_i \left( g_{qi}h_{q'i} + g_{q'i}h_{qi} \right) = \delta_{qq'}$$

что противоречит приведенному выше уравнению. Я мог бы видеть приведенное выше уравнение следующим образом, если бы у нас были коммутационные соотношения, но мы конкретно говорим о фермионных операторах. Где я ошибаюсь? Книга случайно делает бозонический случай?