Неголономные связи в теории Дирака-Бергмана

Алгоритм Дирака-Бергмана эффективно изолирует физические степени свободы системы, переходя от скобок Пуассона { ⋅ , ⋅ } п Б к скобкам Дирака { ⋅ , ⋅ } Д .

Краткий обзор: пусть х я ≈ 0 быть ограничения. Мы требуем, чтобы х я "=" х я ( д , п ) и написать М я Дж ≡ { х я , х Дж } п Б для каждого второго ограничения класса. Наконец, скобки Дирака задаются формулой { ⋅ , ⋅ } Д "=" { ⋅ , ⋅ } п Б − { ⋅ , х я } М я Дж { х Дж , ⋅ } .

Мой вопрос : если у нас есть ограничение, зависящее от скорости, х 0 "=" х 0 ( д , д ˙ ) , и п "=" п ( д ˙ ) необратима (сингулярное преобразование Лежандра), то скобка Пуассона { х 0 , ⋅ } п Б не определен. Означает ли это, что невозможно определить { ⋅ , ⋅ } Д ?

«Ограничение» в смысле Дирака-Бергмана есть функция д и п , что-то, что «вырезает» поверхность ограничений в фазовом пространстве. д ˙ никогда не входит, так как не является координатой фазового пространства. Если у вас есть какое-то «ограничение», которое зависит от д ˙ , вы не в теории фазового пространства.
Но что, если мы начнем с лагранжиана и некоторых ограничений, зависящих от скорости? Нельзя ли перейти к гамильтонианам и попытаться наложить туда это ограничение?
Я так не думаю. Сама природа гамильтоновых ограничений состоит в том, что они соответствуют особенностям преобразования Лежандра, а также калибровочным симметриям лагранжиана (действия). Они не исходят из лагранжевых ограничений.
Гамильтоновы ограничения обычно соответствуют сингулярностям Лежандра и калибровочным симметриям, правильно. По крайней мере, это то, что естественно возникает в практических приложениях. Но в принципе у нас могут быть и другие ограничения, которые мы хотим наложить по какой-то причине (так же, как мы иногда накладываем ограничения в лагранжевых системах: ограничить движение плоскостью и т.п.). Моя точка зрения такова: ограничения не исходят из чего-то конкретного: они исходят из того, что мы хотим навязать. Сингулярности и калибровочные симметрии — это одна из возможностей, но мы можем наложить и другие ограничения, если захотим, верно?
Да, но метод Дирака-Бергмана создан не для этого (и, насколько я знаю, вообще не существует метода для работы со сколь угодно странными ограничениями, которые вы могли бы придумать). Когда говорят «механика Гамильтона с ограничениями» или «рецепт Дирака-Бергмана», имеют в виду, что ограничения являются функциями фазового пространства.

Ответы (1)

Пусть лагранжиан имеет вид

л ( Вопрос , Вопрос ˙ , т )   "="   л 0 ( д , д ˙ , т ) + λ а х а ( д , д ˙ , т ) ,

с неголономными ограничениями, зависящими от скорости х а "=" х а ( д , д ˙ , т ) ; Множители Лагранжа λ а ; и где мы ввели сокращенное обозначение

Вопрос я   "="   { д я ; λ а } , п я   "="   { п я ; π а } .

При условии, что теория корректна и непротиворечива, мы в принципе все еще можем применить рецепт Дирака-Бергмана к расширенному конфигурационному пространству Вопрос я -переменные, чтобы выполнить (возможно, сингулярное) преобразование Лежандра для получения соответствующего гамильтониана ЧАС ( Вопрос , п , т ) и возможные ограничения первого и/или второго класса, и, наконец, вывести скобку Дирака в расширенном фазовом пространстве.

Спасибо за уверенность. Я просто не мог поверить, что мы не можем справиться с этими ограничениями в подходе Дирака. Оказывается, можно, но это (для меня) далеко не тривиально. Например, я нашел статью « Алгоритм ограничений для сингулярных лагранжианов с неголономными ограничениями » де Леона и де Диего researchgate.net/publication/… , которую я все еще пытаюсь переварить, но она выглядит многообещающе. В любом случае, позвольте мне еще раз сказать, что я очень ценю ваш вклад!
Неголономные связи в теории Дирака-Бергмана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v