Где находится спин в уравнении Шредингера электрона в атоме водорода?

В моем нынешнем курсе квантовой механики мы полностью вывели (я полагаю?) волновые уравнения для независимых от времени стационарных состояний атома водорода.

Нам говорят, что принцип запрета Паули является следствием того, что два электрона не могут использовать одно и то же волновое уравнение.

Однако в нашем выведенном уравнении у нас не было ничего, включая спин. Мы определили ψ ( р , θ , ф ) как ψ н , л , м ( р , θ , ф ) "=" р н , л ( р ) Д л , м ( θ , ф ) , где Д л , м ( θ , ф ) "=" ф л , м ( θ ) е я м ф . Затем нам дали четко определенные р н , л и ф л , м которые удовлетворяли уравнениям в частных производных в уравнении Шрёдингера.

Нигде в нашем финале ψ находим ли мы что-нибудь, что меняется в зависимости от четвертой степени свободы, не говоря уже о той, которая ведет себя как м с должен.

Я упускаю суть принципа исключения Паули? Есть ли часть решений для ψ что я не понимаю?

РЕДАКТИРОВАТЬ: я имею в виду ЧАС − ион, где есть два электрона, каждый со своим волновым уравнением. Если мы представим случай, когда оба имеют одинаковые квантовые числа n,l,m, но разные спины м с , не будут ли их волновые уравнения точно такими же и, следовательно, не разрешенными?

Я думаю, что решения, которые вы демонстрируете, хороши только для «водородоподобных» атомов, то есть атомов с одним электроном . В случае двух электронов существует взаимодействие между отдельными электронами, и решение должно быть записано ψ ( р 1 , θ 1 , ф 1 , р 2 , θ 2 , ф 2 ) .
@dmckee В этом случае появляется ли вращение?

Ответы (4)

Вы записали пространственную часть волновой функции электрона. Состояние спина не включено. Полная волновая функция электрона включает как пространственную, так и спиновую части. Иногда в книгах по квантовой механике полная волновая функция электрона записывается как тензорное произведение пространственной и спинорной частей, иногда вы просто увидите, что они написаны одна за другой. Иногда вы просто увидите, что это написано как | н , л , м л , с , м с ⟩ . Я не уверен, какую книгу вы используете.

Когда вы выводили решения TISE для гамильтониана атома водорода, вы, вероятно, пренебрегли релятивистскими поправками, тонкоструктурными и сверхтонкими взаимодействиями, оставив вам только кулоновский потенциал. Поскольку кулоновский потенциал не зависит от спина электрона, вы можете игнорировать эту часть волновой функции. (Другими словами, поскольку все спиновые операторы коммутируют с 1 / р потенциала, собственные состояния спина являются собственными состояниями 1 / р Гамильтониан, так что кошерно просто добавить | с , м с ⟩ вещи потом).

Получается, что уравнения Шредингера не дают полной картины?
@Justin: Уравнение Шредингера может прекрасно сработать, но вы должны включить потенциалы, зависящие от спина, а также потенциал Кулона.
Я повторю то, что сказал dmckee: уравнение Шредингера действительно описывает полную (нерелятивистскую) историю, но пользователь должен поместить все в гамильтониан и убедиться, что пространство вектора состояния включает в себя все, что касается системы. В этом случае вы аппроксимировали гамильтониан (как объяснено выше), чтобы включить только кулоновский член, и вы использовали упрощенное векторное пространство, которое включало пространственную волновую функцию, но не спинорную волновую функцию. Это нормально для гамильтониана, который вы использовали, поскольку он не зависит от спина.
Итак, в основном, В ( р ) член уравнения Шредингера, которое мы решили, был только приближением?
Я не знаю, Джастин Л. Почему бы вам не записать гамильтониан (или уравнение Шредингера), который вы использовали?

Описание спина электрона и принцип запрета Паули должен выйти за пределы уравнения Шредингера и перейти к спинорному уравнению Дирака.

Я не очень хорошо помню свой курс атомной физики, но на уровне вашего анализа, я думаю, вы просто явно добавляете правило двух параллельных спиновых орбиталей.

Для обсуждения этой темы полезна страница википедии .

Вы, вероятно, решили нерелятивистское уравнение Шрёдингера, которое дает начало только трем квантовым числам, т.е. n, l , ml . Свойство спина возникает в результате релятивистских эффектов. Уравнение было разработано Дираком.

Чтобы принцип Паули можно было явно увидеть / реализовать, нужно иметь как минимум два электрона. Это не так в Х.

я имею в виду ЧАС − ион, где есть два электрона, каждый со своим волновым уравнением. Если мы представим случай, когда оба имеют одинаковые квантовые числа n,l,m, но разные спины м с , разве их волновые уравнения не будут точно такими же?
Нет, у нас есть одно уравнение для одной волновой функции, которая зависит от двух аргументов ψ ( Икс 1 , Икс 2 ) . Тогда полная волновая функция (включая спиновые переменные) должна быть антисимметричной по этим аргументам.
Где находится спин в уравнении Шредингера электрона в атоме водорода?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v