Доказательство того, что электронное уравнение Шредингера не имеет замкнутых аналитических решений для > 1 электрона

Во многих книгах утверждается, что аналитические замкнутые решения нестационарного электронного уравнения Шрёдингера,

ЧАС ^ Ψ "=" Е Ψ ,
существуют для одноэлектронной задачи (например, атом водорода, предполагая разделимость ядерного и электронного движения), но такие решения не существуют для систем с более чем одним электроном, и поэтому для решения уравнения требуются методы приближения.

В частности, при переходе от одноэлектронной системы к двухэлектронной системе с фиксированными ядрами что-то меняется, что делает невозможным замкнутое аналитическое решение уравнения.

Ясно, что это связано с межэлектронным взаимодействием, поскольку для систем невзаимодействующих частиц возможны замкнутые аналитические решения. Многие ресурсы предполагают, что проблема многих электронов «слишком сложна» для аналитического решения, но не дают никаких дополнительных подробностей. В связи с этим возникает вопрос: бывает ли так, что закрытые аналитические решения не могут существовать, или они могут существовать, но найти их очень трудно? А если они не могут существовать, то как это определяется?

Урок из недавней истории: arxiv.org/abs/1203.5408
Я наткнулся на книгу под названием «Красивые модели 70 лет точно решенных квантовых задач многих тел». Возможно, вы найдете там какую-нибудь подсказку.
Действительно важный факт: «закрытая форма» и «аналитический» в просторечии в основном бессмысленны. Вы имеете в виду «субъективно простое выражение в терминах функций, которые мне нравятся». Является ли функция синуса замкнутой? Это если вы говорите, что это так, это не так, если вы говорите, что это не так. Ведь синус вычислим только в пределе бесконечного числа арифметических действий, а мы дали ему специальное название. Таким образом, идеально определенные решения корректных дифференциальных уравнений могут быть для некоторых не «аналитическими» просто потому, что никто не удосужился дать этим решениям специальное имя.

Ответы (1)

Более точный математический способ задать ваш вопрос: задан (обычно неограниченный) самосопряженный оператор ЧАС на гильбертовом пространстве ЧАС , могу ли я охарактеризовать его спектр?

Поиск «замкнутых» решений уравнения, которое вы пишете, означает нахождение собственных функций вашего оператора ЧАС , возможно принадлежащий гильбертовому пространству ЧАС (поскольку вы хотите, чтобы они были реализуемыми состояниями). Другими словами, это означает, что вы исследуете, является ли оператор ЧАС имеет дискретный спектр.

Иногда можно доказать, что спектр полностью дискретен, иногда что дискретного спектра нет, но обычно у вас есть как дискретный, так и недискретный (существенный) спектр: это действительно зависит от вида оператора ЧАС . Существует постоянная, огромная и хорошо зарекомендовавшая себя область математических исследований по этому вопросу, называемая «спектральной теорией». В «библии» математической физики, т. е. в книгах Рида и Саймона , этому предмету посвящен целый том (четвертый). Я предлагаю вам прочитать главы VI, VII и VIII первого тома в качестве общего введения и все, что вам нравится в томе 4 (особенно разделы о связанных состояниях и собственных функциях), чтобы получить представление о математических трудностях анализа спектра операторов. , а следовательно, и их собственные функции.

Доказательство того, что электронное уравнение Шредингера не имеет замкнутых аналитических решений для > 1 электрона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v