Оценка σμνFμν=iα⋅E+Σ⋅BσμνFμν=iα⋅E+Σ⋅B\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=i\alpha \cdot E+\Sigma\cdot B матрица, зависящая от спина член в квадратном уравнении Дирака

Я вывожу квадратичную форму уравнения Дирака следующим образом

$$\lbrace[i\not \partial-e\not A]^2-m^2\rbrace\psi=\lbrace\left( i\partial-e A\right)^2 + \frac{1}{2i} \sigma^{\mu\nu}F_{\mu \nu}-m^2\rbrace\psi=0$$ И мне нужно найти форму члена, зависящего от спина, чтобы получить окончательное выражение $$g \frac{e}{2} \frac{\sigma^{\mu\nu}}{2}F_{\mu \nu}=-g\frac{e}{2}\left(i\vec{\alpha}\cdot\mathbf{E}+\vec{\Sigma}\cdot\mathbf{B}\right)$$ Но я не понимаю этого выражения.

Я использую представление Дирака с этими величинами

$$\vec{\alpha}=\begin{pmatrix} 0 & \vec{\sigma}\\ \vec{\sigma} & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \vec{\Sigma}=\begin{pmatrix} \vec{\sigma}& 0\\ 0&\vec{\sigma} \end{pmatrix}$$ Где$\vec{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$— матричный вектор Паули.

Я построил электромагнитный тензор почленно, используя определение$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu} A_{\nu}-\partial_{\nu} A_{\mu}$с метрическим тензором$g^{\mu\nu}=\textrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$и я получаю

$$F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & E_x&E_y&E_z\\ -E_x&0&B_z & -B_y\\ -E_y&-B_z&0&B_x\\ -E_z&B_y&-B_x&0 \end{pmatrix}$$

я оцениваю$\sigma^{\mu\nu}$матрица, начиная с ее определения в терминах гамма-матриц$\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2}\left[\gamma^\mu,\gamma^\nu\right]$

$$\sigma^{00}=\frac{i}{2}[\gamma^0,\gamma^0]=0$$ $$\sigma^{0i}=\frac{i}{2}[\gamma^0,\gamma^i]=\frac{i}{2}[\gamma^0,\gamma^0\alpha_i]=\frac{i}{2}[\alpha_i-\gamma^0\alpha_i\gamma^0]=\frac{i}{2}2\alpha_i=i\alpha_i$$ $$\sigma^{ij}=\frac{i}{2}[\gamma^i,\gamma^j]=[\gamma^0\alpha_i,\gamma^0\alpha_j]=\frac{i}{2}\gamma^0(\alpha_i\gamma^0\alpha_j-\alpha_j\gamma^0\alpha_i)=\frac{i}{2} \begin{pmatrix} -[\sigma_i,\sigma_j] &0\\ 0&-[\sigma_i,\sigma_j] \end{pmatrix}=\epsilon_{ijk}\begin{pmatrix} \sigma_k &0\\ 0&\sigma_k \end{pmatrix}=\epsilon_{ijk}\Sigma_k$$ А остальные члены следуют свойству антисимметрии$\sigma^{\mu\nu}=-\sigma^{\nu\mu}$

$$\sigma^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & 2\alpha_x & 2\alpha_y & 2\alpha_z\\ -2\alpha_x&0&\Sigma_z & -\Sigma_y\\ -2\alpha_x&-\Sigma_z&0&\Sigma_x\\ -2\alpha_x&\Sigma_y&-\Sigma_x&0 \end{pmatrix}$$

Теперь мои вопросы:

«Почему эти расчеты не дают правильного результата?»

"Что я должен сделать, чтобы получить правильный результат? Что я упускаю?"

$$\frac{\sigma^{\mu\nu}}{2}F_{\mu \nu}=-\left(i\vec{\alpha}\cdot\mathbf{E}+\vec{\sigma}\cdot\mathbf{B}\right)$$