Где живет волновая функция Вселенной? Пожалуйста, опишите его дом

Волновая функция живет в квантовом кафе, смотрите фрагмент с 3:40 или около того до конца.

http://www.youtube.com/watch?v=unJ2ajHH-94

А если серьезно, волновая функция — это более специальное название «вектора состояния», который является элементом гильбертова пространства.${\mathcal H}$, комплексное векторное пространство со скалярным произведением. Гильбертово пространство всех реалистических систем бесконечномерно; для бесконечного измерения нельзя сказать, является ли база счетной или такой же большой, как континуум, потому что эти две базы на самом деле полностью эквивалентны.

Конечномерные гильбертовы пространства используются только как упрощенные игрушечные модели для некоторых аспектов некоторых физических систем. Но они по-прежнему очень важны в теории и на практике, потому что реалистичные ситуации часто составляются из подобных небольших гильбертовых пространств путем взятия тензорных произведений. Двумерные гильбертовы пространства (например, спин вверх против спина вниз) кажутся очень простыми, но они уже очень богаты и используются в качестве инструментов для обучения квантовой механике. Квантовые вычисления обычно происходят в гильбертовых пространствах для$N$кубиты, которые$2^N$-мерные, а также конечномерные. Оставшееся бесконечно много состояний реальной физической системы предполагается недостижимым, поэтому мы можем «обрезать» гильбертово пространство. Но обратите внимание, что такие простые системы, как электрон, вращающийся вокруг протона, или гармонический осциллятор, уже имеют бесконечномерное гильбертово пространство.

Пространство Фока — это особый вид гильбертова пространства. Это гильбертово пространство теории свободного поля или, что то же самое, бесконечномерный гармонический осциллятор. Свободный билинейный гамильтониан обычно определяют и в фоковском пространстве. Если мы не говорим, что существует гамильтониан, тождество пространства Фока на самом деле бессмысленно, потому что все бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны или «унитарно эквивалентны» друг другу.

Таким образом, пространство Фока на самом деле не является «чем-то совершенно другим» (или большим), чем пространство Гильберта; это частный случай. То же самое относится и к гильбертовым пространствам, связанным с любой теорией, которую вы можете придумать (описывающей мир вокруг нас или описывающей вымышленный или гипотетический мир), будь то Стандартная модель, Минимальная суперсимметричная Стандартная модель или — наиболее полная теория — Струнная теория. Все эти теории, как и любые другие теории, касающиеся постулатов квантовой механики, имеют свое собственное гильбертово пространство, и все эти бесконечномерные пространства в теории струн или простой бесконечномерный гармонический осциллятор или даже простой атом водорода на самом деле изоморфны каждому из них. другой.

Также следует отметить, что реальное состояние физической системы не определяется всей информацией, содержащейся в элементе гильбертова пространства. Фаза и абсолютная нормировка – т.е. полный мультипликативный коэффициент, который может быть комплексным – нефизичны. Таким образом, пространство неэквивалентных «чистых состояний» на самом деле является частным${\mathcal H}/{\mathbb C}^*$.

Помимо «волновых функций», т.е. чистых состояний, являющихся элементами гильбертова пространства, с точностью до нормализации, можно также описать физическую систему с помощью более общей «матрицы плотности», которая живет в пространстве эрмитовых матриц$\rho$. Для чистых состояний$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$и фаза отменяется. Однако существуют и более общие смешанные состояния, представляющие собой суперпозиции подобных терминов.

Слово «пространство» в математике — это не тот же онтологический объект, что и физическое пространство. Это эквивалентно вопросу в классической физике, где находится пространство всех векторов скорости? Дело не в том, что они на самом деле где-то «там», это просто математические абстракции, из которых можно извлечь полезную информацию и сделать выводы об измеримых величинах, аналогичных абстракциям. Векторное пространство (существуют гильбертовы, фоковские и многие другие варианты векторных пространств!) — это математический объект, который делает удобным многие вычисления, которые можно выполнять с наборами чисел (векторы, матрицы, тензоры и т. изобрел алгебраические свойства (замыкание, коммутативность, ассоциативность и т. д.).