Эквивалентность волновой функции и обозначения Диракета

Формулы, которые вы пишете, не совсем там. Связи между волновой функцией и вектором состояния следующие:

$$|\Psi\rangle = \int \mathrm d\mathbf r \:\Psi(\mathbf r)|\mathbf r\rangle$$ и $$\Psi(\mathbf r) = \langle \mathbf r | \Psi \rangle.$$ Смешивание производной нотации с нотацией Дирака также является довольно плохой идеей, и довольно скоро вы можете запутаться. Вместо этого при использовании нотации Дирака более распространено обозначать кинетический член с точки зрения оператора импульса, и способ связать их через нотацию Дирака выглядит следующим образом: $$\langle \mathbf r| \hat{\mathbf p}^2 = -\hbar^2 \nabla^2 \langle \mathbf r|.$$

Таким образом, если вы возьмете уравнение Шредингера в нотации Дирака

$$\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m}|\Psi\rangle = E|\Psi\rangle$$ и вы умножаете его слева на $\langle\mathbf r|$, вы получаете уравнение Шредингера для волновой функции, $$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf r) = E\Psi(\mathbf r).$$

Позвольте мне показать каждый шаг, необходимый для преобразования между двумя обозначениями. Ваше первое уравнение правильно записано как

$$\hat{H} \, | \psi \rangle = E\, | \psi \rangle$$ где$\hat{H}$является оператором,$|\psi \rangle$является вектором состояния, и$E$это число. Теперь оба$\hat{H}$и$|\psi \rangle$может быть выражено через компоненты в основе. Например, в базисе позиции компоненты$|\psi \rangle$образуют функцию, называемую волновой функцией, $$\langle x | \psi \rangle = \psi(x).$$ Гамильтониан - это оператор, поэтому в компонентах он становится матрицей с компонентами $$H_{xy} = \langle x | \hat{H} | y \rangle.$$ Теперь давайте применим это к первому уравнению. Мы ударяем все слева с помощью$\langle x |$, а также вставить копию удостоверения, $$1 = \int dy |y \rangle \langle y|$$ слева. Это дает $$\int dy\, \langle x | \hat{H} | y \rangle \langle y | \psi \rangle = E \langle x | \psi \rangle.$$ Раскладывая по компонентам, имеем $$\int dy \, H_{xy} \psi(y) = E \, \psi(x).$$ Это уравнение Шредингера в компонентах. В вашем конкретном случае компоненты $$H_{xy} = -\frac{\hbar^2}{2m} \delta''(x-y).$$ То есть компоненты являются второй производной дельта-функции Дирака. Подключив это и дважды проинтегрировав по частям, мы имеем $$- \frac{\hbar^2}{2m} \int dy \, \delta(x-y) \psi''(y) = E\, \psi(x)$$ Выполняя интеграл, имеем $$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) = E \psi(x).$$ Наконец, мы можем записать это в «абстрактной» нотации $$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi = E \psi$$ что является вашим вторым уравнением. Разница в том, что первое уравнение действительно является абстрактным операторным уравнением, не зависящим от базиса. Во втором уравнении мы выделили$H$как оператор, но действует на коэффициенты, а не на сами векторы состояния. Таким образом, это уравнение полезно только при работе с определенным базисом, позиционным базисом.

---

Эмилио Писанти дал хороший (и гораздо более короткий) ответ. Я думаю, хорошо несколько раз увидеть полное вычисление, но после этого вам действительно не захочется спускаться до компонентов, как я только что сделал, поскольку выражения компонентов для операторов имеют тенденцию быть очень уродливыми.