Геодезическое уравнение сохранения энергии-импульса

Я немного злоупотреблю обозначениями, но надеюсь, вам это не покажется ужасным. Ведь я только злоупотребляю обозначениями: не дети!

Уловка 1: Параметризация по правильной длине. Мы выберем для нашего аффинного параметра$\lambda=s$надлежащая длина. Тогда тензор энергии напряжения принимает вид

$$\tag{1}T^{\alpha\beta}(x)=m\int_{\gamma}u^{\alpha} u^{\beta}\frac{\delta^{(4)}\bigl(x,z(s)\bigr)}{\sqrt{|g|}}\,\mathrm{d}s$$ где $u^{\alpha}=\mathrm{d}x^{\alpha}/\mathrm{d}s$и $g=\det{g_{\mu\nu}}$.

Уловка 2: Уловка с ковариантной производной. Мы можем написать

$$\nabla_{\mu}f^{\mu}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu}(\sqrt{|g|}f^{\mu})$$ для произвольного $f^{\mu}$.

Упражнение. Используя обозначения Пуассона (13.2) , имеем

$$\delta(x,x') = \frac{\delta^{(4)}(x-x')}{\sqrt{|g|}} = \frac{\delta^{(4)}(x-x')}{\sqrt{|g'|}}$$ и, таким образом, используя наш трюк с ковариантной производной, находим $$\nabla_{\mu}\delta(x,x')=???$$

Это скажет вам, что

$$\int u^{\alpha}u^{\beta}\nabla_{\alpha}\delta(x,x')\,\mathrm{d}s = \mbox{boundary terms}$$ и поэтому мы можем игнорировать его.

Примечание 1. Вы пишете с ошибкой

$$\begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda-m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\nu}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda,}} \end{alignedat}$$ Это должно было быть простым применением правила произведения. То есть знак минус должен быть знаком плюс.

Замечание 2. Почему следует ожидать, что правая часть$\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta}=0$? Ну, потому что, используя уравнение поля Эйнштейна, это$\nabla_{\beta}G^{\alpha\beta}$а это тождественно ноль .

Вот почему мы установили

$$\tag{2}m\int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$$ ... которое в точности является уравнением геодезической для точечной частицы, как обсуждалось в разделе 3 статьи Пуассона .

Изменить Мы можем переписать (2), так как${g^{\alpha}}_{\beta}={\delta^{\alpha}}_{\beta}$это дельта Кронекера. Так

$$\tag{3}m\int_{\gamma}\nabla_{\nu}\left[\frac{\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\beta}}}\right]\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$$ Но если мы выберем длину дуги в качестве параметра, это станет просто $$\tag{4}m\int_{\gamma}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$$ Отлично, но на самом деле $$\tag{5}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})=0?$$ Напомним, что для геодезической с использованием параметризации длины дуги мы имеем $$u_{\mu}u^{\mu}=1\implies u_{\mu}\nabla_{\nu}u^{\mu}=0.$$ Таким образом, (5), при сжатии неотрицательным вектором (скажем, $u_{\alpha}$) становится $$\begin{alignedat}{1}u_{\alpha}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu}) &= u_{\alpha}\underbrace{u^{\nu}\nabla_{\nu}u^{\alpha}}_{=0} + \underbrace{u_{\alpha}u^{\alpha}}_{=1}\nabla_{\nu}u^{\nu}\\ &=\nabla_{\nu}u^{\nu}\end{alignedat}$$ Но это уравнение типа неразрывности (и если вы используете прием 2, оно действительно напоминает уравнение неразрывности электромагнетизма!).

Теперь мы можем вернуться назад, и при осмотре находим

$$\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})=\left(\begin{array}{c}\mbox{Geodesic}\\ \mbox{Equation}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\mbox{Continuity}\\ \mbox{Equation}\end{array}\right).$$ Это, конечно, $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}$. Почему мы должны ожидать, что он будет равен нулю?

Ну, если выполняются уравнения поля Эйнштейна, то

$$G^{\mu\nu}-\kappa T^{\mu\nu}=0$$ и более того $$\nabla_{\mu}(G^{\mu\nu}-\kappa T^{\mu\nu})=0.$$ Однако, $\nabla_{\mu}G^{\mu\nu}=0$ тождественно благодаря геометрии.