Почему pϕpϕp_\phi сохраняется на орбите Шварцшильда?

Это вытекает из вопроса, какова связь между а и м , на который, боюсь, я ответил, просто посмотрев в книге Шутца . Однако Шютц (как он часто делает) замалчивает детали, которые он считает неуместными или слишком простыми, чтобы их стоило объяснять, и я понял, что не понимаю сделанного им предположения.

Шюц утверждает без доказательства, что если у нас есть экваториальная орбита в метрике Шварцшильда, то:

Независимость метрики угла ф относительно оси означает, что п ф постоянно.

Я предполагаю, что в нерелятивистском мире это соответствует постоянству углового момента в центральном потенциале. Все идет нормально. Но почему это компонента двойственного вектора п ф это константа, а не п ф ? Компонент п ф предположительно не является постоянным, поскольку (в данном случае) п ф "=" п ф / р 2 .

Бонусные баллы за объяснение аналогичного утверждения о том, что независимость от времени означает, что п т является постоянным, а не п т .

Я боюсь, что Шютц не объяснил, потому что это оскорбительно простой вопрос, но если кто-то может дать хорошее интуитивное объяснение, я был бы очень рад его прочитать.

Спасибо и Альфреду, и Прахару. Оба ответа действительно полезны. Я предпочел Альфреда, а не Прахара, только потому, что чтение фрагмента Шутца, на который указал мне Альфред, было особенно полезным.

Ответы (2)

Но почему это компонента двойственного вектора п ф это константа, а не п ф ?

Внизу страницы 189:

Таким образом, геодезическое уравнение может быть записано в полной общности

м г п β г т "=" 1 2 г ν α , β п ν п α

Таким образом, мы имеем следующий важный результат: если все компоненты г мю ν не зависят от Икс β для некоторого фиксированного индекса β , затем п β является константой вдоль траектории любой частицы

Также имейте в виду, что в соответствующем разделе, посвященном экваториальным орбитам в геометрии Шварцшильда, Шюц работает в координатной, а не в единичной основе.

В случае, если θ "=" π 2 (как в этом примере), мы имеем

е → ф ⋅ е → ф "=" р 2

именно поэтому, я считаю, п ф является р зависимый.

Ага, спасибо, пойду читать, изучать и внутренне переваривать.
@JohnRennie, спасибо, что задали этот вопрос. Я почти всегда с удовольствием просматриваю свой потрепанный экземпляр книги Шютца, который был подарен на Рождество много лет назад. Обсуждение базиса координат по сравнению с базисом единиц находится на страницах 144 - 147.

Позволять ξ α быть вектором Киллинга метрики г мю ν , т.е. удовлетворяет

∇ мю ξ ν + ∇ ν ξ мю "=" г мю α ∂ ν ξ α + г ν α ∂ мю ξ α + ξ α ∂ α г мю ν
Тогда количество
Вопрос "=" ξ α ты α
сохраняется вдоль любой геодезической. Чтобы увидеть это, мы можем вычислить
ты α ∇ α Вопрос "=" ты α ты β ∇ α ξ β + ты α ∇ α ты β ξ β
Первый член выше равен нулю, потому что я могу симметрировать ∇ α ξ β → 1 2 ( ∇ α ξ β + ∇ β ξ α ) который тогда равен нулю, так как ξ является вектором Киллинга. Второй член равен нулю из-за геодезического уравнения. Таким образом
ты α ∇ α Вопрос "=" 0
Наконец, отметим, что если метрика г мю ν не зависит от конкретной координаты ф , затем К α "=" дельта ф α является вектором Киллинга. Мы можем увидеть это, просто подставив это в уравнение Киллинга, и мы найдем
г мю α ∂ ν К α + г ν α ∂ мю К α + К α ∂ α г мю ν "=" ∂ ф г мю ν "=" 0
Первые два члена исчезают, так как К является константой. Последний член равен нулю по условию.

Следовательно, если метрика не зависит от ф , затем К α "=" дельта ф α является вектором Киллинга и

Вопрос "=" К α ты α "=" ты ф ∝ п ф
является сохраняющейся величиной.

Почему pϕpϕp_\phi сохраняется на орбите Шварцшильда?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v