Геометрическое место центроида треугольника, когда одна вершина движется по окружности

Геометрическое доказательство: я буду использовать термин «барицентр» для «средневзвешенного значения».

Позволять$D$быть серединой отрезка$[BC]$.

Частичная барицентрация эквивалентна поиску барицентра$W$переменной точки$A$с весом$1$и фиксированная точка$D$с весом$2$. Поэтому точка$W$всегда так, что$\vec{DW}=\frac13 \vec{DA}$. Следовательно, геометрическое место точки$W$является изображением локуса$A$по гомотетии с центром$D$и соотношение$1/3$; поэтому$W$описывает окружность с радиусом, равным трети радиуса окружности, описанной$A$.

Аналитическое доказательство:

с$G=(x_G=\frac13(x_A+x_B+x_C),y_G=\frac13(x_A+x_B+x_C))$это центр масс треугольника$ABC$.

Скажем, Вертекс$A$движется по кругу$X$радиуса$r$.

Затем$OA = r$и$G$, центр тяжести$\triangle ABC$, делит медиану$AM$в отношении$2:1$. Теперь возьми точку$K$на сегменте$OM$такой, что$OK:KM = 2:1$. Данный$M$и$O$фиксированы, точка$K$исправлено .

Независимо от того, где точка$A$находится на круге$X$, сегмент$KG$делит стороны$AM$и$OM$в том же соотношении$2:1$в$\triangle OAM$. Значит, он должен быть параллелен основанию.$BC$и$KG = \frac{OA}{3} = \frac{r}{3}$. Таким образом, расстояние$G$от$K$фиксируется как$A$движется по окружности заданного радиуса$r$.

Также обратите внимание, что на окружности есть две точки, когда$A, M$и$O$коллинеарны и имеем вырожденный треугольник$\triangle OAM$. Он все еще держит это$KG = \frac{r}{3}$.

Так как вершина$A$из$\triangle ABC$движется по кругу$X$с радиусом$r$, его центр тяжести$G$движется по окружности с центром как$K$и радиус как$\frac{r}{3}$.$K$является центром тяжести$\triangle OBC$.