Геометрия пространства-времени и метрика

Меня смущает один вопрос ОТО, почему мы всегда можем выразить геометрию пространства-времени только метрикой. Это означает, что метрика, которая примерно равна расстоянию в касательном пространстве, может сообщить нам всю информацию о многообразии.

Я знаю, что есть стандартные доказательства, например, мы можем выразить связь через метрику и, следовательно, кривизну Римана. Однако я не очень удовлетворен этими ответами. Мне все еще нужна более прямая причина для этого.

Насколько я понимаю, метрика просто определяет расстояние, длину касательных векторов, однако кривизна Римана, на мой взгляд, говорит нам больше, например, чем прямая отличается от прямой и как вектор движется по замкнутому пути. .

Я считаю, что должен быть какой-то изящный и красивый аргумент, показывающий, что метрики достаточно, это все.

Этот вопрос довольно расплывчатый, поэтому, пожалуйста, просто поболтайте.

Трудно понять ваши рассуждения. Во втором абзаце вы пишете, что знаете, что тензор кривизны Римана может быть записан в терминах метрики (и ее производных). В третьем абзаце вы говорите, что кривизна Римана говорит вам больше. Эти два предложения прямо противоречат друг другу, не так ли? Можно рассмотреть более общие «геометрии», чем те, которые задаются конфигурацией метрического тензора. Но вы должны сначала определить, что вы подразумеваете под такой обобщенной «геометрией», а затем мы могли бы обсудить это (добавьте кручение или что-то еще).
Извините, я признаю, что говорю об этом очень запутанным образом. Записывая тензор кривизны Римана в терминах метрики, я считаю, что метрика говорит обо всем. Однако я пытаюсь понять это, потому что для меня не очень естественно, что «локальное измерение длины» может рассказать обо всех свойствах многообразия.
Возможно, все станет яснее, если вы заметите, что углы тоже могут быть выражены в терминах метрики, т. е. угол θ между Икс и у дан кем-то потому что ⁡ θ "=" г мю ν Икс мю у ν / [ Икс 2 у 2 ] 1 / 2 , где я не удосужился выписать знаменатель с точки зрения г .
имейте в виду, что метрика на самом деле не однозначно определяет соединение - вам понадобится дополнительное условие, что соединение не должно быть перекручено
Знакомы ли вы с <a href=" en.wikipedia.org/wiki/Tetrad_formalism"> тетрадным формализмом</a>? Тетрада дает вам прямой способ расчета метрики, а также дает очень физическую картину вещей, о которых вы говорите.
@Christoph: и, технически, вы выбираете соединение, совместимое с метрикой.

Ответы (2)

Примерно так я об этом и думаю. Многообразие определяется как набор размерности н с открытой окрестностью в каждой точке, которая имеет непрерывное отображение 1-1 в евклидово пространство, Е н ; так что это локально "как" Е н . Одна карта — это Диаграмма. Набор Карт, покрывающих все многообразие, представляет собой Атлас. (Шютц, Бернард. Геометрические методы математической физики) Когда диаграммы строятся для множества, такого как сфера, метрика для сферы может быть получена из преобразования евклидовых координат и того факта, что метрика является тензором. Таким образом, метрика измеряет отклонение от евклидова пространства. И если вы точно знаете, чем пространство отличается от евклидова пространства в каждой точке, то вы знаете «все» об этом пространстве.

Но существуют топологически различные пространства с одной и той же метрикой — цилиндр плоский. Так что это не говорит вам всего.

* Отредактировано с учетом комментария gns-ank. Заменено неправильное или неточное определение многообразия строгим определением.

+1 за пример цилиндра. Часто игнорируется тот факт, что метрика говорит вам только о локальной геометрии.
Однако следует отметить, что многообразие не определяется как нечто локально евклидово. Дело в том, что псевдоримановы многообразия определяются как таковые и используются в общей и специальной теориях относительности.
@ gns-ank Я заменил то, что я написал о многообразии, определением многообразия, найденным в Шютце. Геометрические методы
+1 за пример с цилиндром, я также проигнорировал, что метрика - это еще не все.

Это заблуждение, что риманова метрика определяет норму только касательных пространств: внутренний продукт также добавляет понятие углов и геодезического расстояния (и, таким образом, реальную метрику на многообразии).

Лично меня не удивляет, что для задания геометрии достаточно расстояний и углов - а что еще надо? (Кручение, конечно - но в ОТО мы традиционно игнорируем эту дополнительную степень свободы...)

Геометрия пространства-времени и метрика
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v