Когда у нас есть, например, металлический куб размером 1x1x1м и мы помещаем его в пространство без гравитационной силы, куб имеет размеры 1x1x1м и мы можем использовать евклидову геометрию.
Да, в принципе можно наблюдать разницу в размерах и форме ввиду геодезического отклонения. Если у вас есть пара частиц материи, находящихся очень близко друг к другу, покоящихся в системе отсчета, в общей области пространства-времени, где присутствует кривизна, они испытывают относительное ускорение ввиду так называемого геодезического отклонения, которое возникает из-за тот факт, что тензор Римана не равен нулю. Это означает, что если вы хотите удерживать частицы на фиксированном относительном расстоянии, вы должны применять силы. В протяженном теле эти силы называются внутренними напряжениями. Внутренние напряжения связаны с деформацией объекта. Следовательно, металлический куб должен изменить свой размер, а его форма может измениться при наличии кривизны, чтобы компенсировать относительное ускорение его молекул, вызванное «гравитационным полем».
Второй вопрос поставлен некорректно, потому что ваше утверждение «внизу время идет медленнее, чем на высоте 1 м» должно быть интерпретировано... То, что вы можете сравнить, это некоторый интервал времени, относящийся к некоторому времени убийства, используемому, например, для определения понятие термодинамического равновесия. Интервал времени убийства везде одинаков, например, временной период электромагнитной волны, излучаемой сверху вниз, одинаков внизу и вверху. Однако меры этих интервалов, относящиеся к идеальным часам, находящимся соответственно вверху и внизу, оказываются разными. Однако, если все наши измерения выполняются, оставаясь наверху или внизу, никакой разницы во временном интервале не обнаруживается. Более того, (постоянное даже в ОТО) значение скорости света всегда относится к собственному времени, а не к времени Киллинга, и понятие длины согласуется с этим выбором. Итак, ответ на ваш второй вопрос — НЕТ, это не способ наблюдения за геометрической деформацией.
Во-первых, ожидается, что кривизна пространства изменит (пропорционально) все, что вы используете для измерения куба. Включая весы, лазеры и т.д. все. А так, никакой разницы вы бы не заметили.
Однако искривление пространства не обязательно геометрическое. Даже если оно геометрическое, оно не обязательно может быть вдоль направлений, в которых мы наблюдаем его эффекты.
Мы видим искривление света из-за искривления пространства. Это не означает, что пространство искривлено в том же направлении.
Например, линза также преломляет свет, но мы знаем, что сама линза не изгибается в том же направлении, в котором преломляет свет. На самом деле он изогнут в перпендикулярном направлении. Не очень хорошая аналогия, но просто для того, чтобы дать представление.
Поэтому я бы сказал, что, хотя математика работает вне всяких разумных сомнений, механизм и форма/природа самого искривления не известны/не описаны.
Тем не менее, я полагаю, что математика действительно рассматривает искривление как геометрическое и в тех же направлениях, что и наблюдаемые эффекты. И математика работает очень элегантно.
Питер Дир
Илья