Глобальные симметрии пространства-времени и общая ковариация

Непрерывные симметрии — это однопараметрические группы изометрий, порожденные векторными полями Киллинга . Векторное поле убийства$X$определяется требованием (${\cal L}_X$является стандартной производной Ли вдоль$X$)

$${\cal L}_X g =0\tag{1}$$ что эквивалентно известному уравнению Киллинга $$\nabla_a X_b + \nabla_b X_a =0\:.\tag{1'}$$

Эти уравнения являются внутренними, поэтому они справедливы в любой системе координат.

Можно доказать, что пространство векторов Киллинга является конечномерным векторным пространством и, следовательно, допускает базис. Определение основы полей Киллинга фиксирует все непрерывные симметрии вашего пространства-времени.

Если вы исправите поле убийства$X$и проинтегрировать его, вы получите конгруэнтность кривых в пространстве-времени. В окрестности каждой точки вы можете дополнить эти кривые другими$n-1$кривые для построения системы координат$x^1, \ldots, x^n$где$X = \frac{\partial}{\partial x^1}$. В этой системе координат (1) принимает простой вид

$$\frac{\partial g_{ab}}{\partial x^1}=0\:.$$ Вот почему симметрии можно увидеть, глядя на компоненты метрики в подходящих системах координат. Должно быть очевидно, что изменение координат не сохраняет это свойство. Если активно интерпретировать изменения координат, это то же самое, что сказать, что диффеоморфизмы вообще не сохраняют симметрии.

Однако есть фундаментальная причина, по которой эта процедура (попытка представить симметрии с помощью подходящего выбора координат) не может показать все непрерывные симметрии метрики одновременно.

Если составить все непрерывные симметрии всеми возможными способами, вы получите группу Ли $S$. Оказывается, алгебра Ли$s$из$S$представляет собой основу полей Киллинга: если$t_1,\ldots, t_k$является основой$s$и выполняются коммутационные соотношения

$$[t_i,t_j] = \sum_{k=1}^k c_{ij}^k t_k \tag{2}$$ одна группа параметров, сгенерированная $t_j$определить непрерывные симметрии, генерируемые соответствующими полями Киллинга $X_j$. Карта $t_j \to X_j$линейно продолжается до изоморфизма алгебр Ли, поскольку оказывается, что (константы $c_{ij}^k$такие же как и раньше) $$\{X_i,X_j\} = \sum_{k=1}^k c_{ij}^k X_k \tag{3}\:,$$ где $\{\cdot, \cdot \}$— стандартный коммутатор Ли векторных полей.

Вот и проблема с координатами. За исключением по существу тривиальных случаев,$S$неабелев, поэтому некоторые константы$c_{ij}^k$не исчезай. Если$X_i$и$X_j$были касательными векторами к соответствующим координатам системы координат, мы имели бы

$$\{X_i,X_j\} = \left\{\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\right\} =0 \tag{3'}\:$$ вместо. Таким образом, использование координат не так полезно, и прямые процедуры для определения базиса решений (1) или (1'), безусловно, более эффективны.

В качестве тривиального примера проблемы подумайте о стандартной евклидовой плоской метрике$\mathbb R^3$. Он допускает полную группу вращений вокруг начала координат как (под)группу симметрии. Однако невозможно построить систему координат, соответствующую действию поворотов вокруг трех осей одновременно. Не более чем одна координата может быть интегральной линией действия вращений вокруг оси (это бывает в сферических координатах и$\phi$такая координата, описывающая вращения вокруг$z$ось и составляющая метрики в сферических координатах не зависят от$\phi$). Причина в том, что группа вращений$SO(3)$не является абелевой. И наоборот, стандартные ортонормированные декартовы координаты одновременно представляют действие трех подгрупп переводов: это не проблема, поскольку переводы$\mathbb R^3$образуют абелеву группу.

Что ж, координат в физике не существует: это просто обозначения, которые нам нужны, чтобы мы могли говорить о физике. В этом случае преобразование координат не может иметь никакого значения для физической системы, которую оно описывает: оно может только описать физическую систему более или менее хорошо. Хорошие примеры «менее хорошо» — это когда координаты становятся вырожденными, и вы получаете искусственную сингулярность: известный пример — решение Шварцшильда.

Таким образом, любая физическая симметрия системы не должна зависеть от выбора координат. Таким образом, ответ на ваш первый вопрос заключается в том, что да, метрика по-прежнему будет иметь те симметрии, которые у нее были, потому что эти симметрии являются свойствами физики, а не системы координат.

Однако эти симметрии могут быть глубоко непрозрачными, поскольку на самом деле нет предела тому, насколько плохой выбор координат я могу сделать: до тех пор, пока$\Lambda^\mu{}_\nu$неособый, я действительно могу выбрать любой достаточно гладкий$\Lambda^\mu{}_\nu(x^\xi)$что мне нравится (здесь я использую$x^\xi$означать «все координаты», так что на самом деле$\left\{x^\xi\right\}$: это не индекс, по которому можно суммировать).

Итак, в общем, если я даю вам метрику, выраженную в какой-то системе координат, вы даже не можете знать, является ли это той же физической системой, что и какая-то другая метрика. Это буквально так: не существует алгоритма, который скажет вам, описывают ли две метрики одну и ту же физическую систему.

Так что ответ на ваш второй вопрос, я думаю, отрицательный: я могу выразить метрику таким ужасным образом, что невозможно понять, что происходит.

Однако на практике все не так плохо. В частности, вы никогда не выберете какую-то ужасную трансформацию, чтобы сделать вещи неясными. И даже если они неясны, существует множество эвристических приемов, которые вы можете использовать, чтобы попытаться преобразовать метрику в форму, в которой симметрия очевидна. Давно я не знал достаточно об этом, но я думаю, что вы должны искать то, что вы хотите, это классификация Петрова, а также все, что вы можете найти по классификации точных решений (я не могу найти ничего, что не т ни на бумаге, ни за платным доступом, но есть куча бумаг и книг на эту тему).