Как показать, что пространственно-временной интервал инвариантен в целом?

Я понимаю, как вывести пространственно-временной интервал, инвариантный для пространства Минковского, но я никогда не видел его вывода в общем искривленном пространстве-времени. Была ли инвариантность только что выведена для пространства Минковского, а затем постулирована, что она верна для всех метрических тензоров в общей теории относительности, или есть доказательство, показывающее, что она инвариантна в общей теории относительности?

Кажется, есть путаница между двумя ответами ниже. Первый показывает, что число г с 2 всегда инвариантен. Второй показывает, что форма г с 2 , т.е. г т 2 − г Икс 2 − г у 2 − г г 2 инвариантно, что эквивалентно тому, что компоненты метрического тензора г мю ν инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Тогда соответствующие ответы да, всегда; и нет, только в СР.

Ответы (3)

Давайте посмотрим на произвольное обратимое преобразование координат:

Икс мю → Икс ′ мю "=" Икс ′ мю ( Икс ν ) .
Соответствующий якобиан Λ
Λ     р мю "=" ∂ Икс ′ мю ∂ Икс р
обратим
Λ о     ν "=" ∂ Икс ν ∂ Икс ′ о .
Вектор преобразуется как
Икс ′ мю "=" ∂ Икс ′ мю ∂ Икс о Икс о "=" Λ     о мю Икс о .
Определяющее свойство тензора второго ранга (таким тензором является метрический тензор) состоит в том, что он преобразуется как
г р о ′ "=" ∂ Икс мю ∂ Икс ′ р ∂ Икс ν ∂ Икс ′ о г мю ν "=" Λ р     мю Λ о     ν г мю ν .

Имея это в виду, давайте применим это тензорное исчисление к нашему линейному элементу:

г с ′ 2 "=" г мю ν ′ г Икс ′ мю г Икс ′ ν "=" г мю ν ′ Λ     р мю Λ     о ν г Икс р г Икс о "=" г мю ν г Икс р г Икс о "=" г с 2 .
Это было бы хрестоматийным вычислением инвариантности линейного элемента с использованием тензорного исчисления. Чтобы доказать свойство преобразования тензора второго ранга, можно было бы выразить все через базовые векторы и использовать отношения этих базовых векторов.

Таким образом, инвариантность линейного элемента больше характерна для тензорного исчисления. Скаляр инвариантен относительно преобразований координат, что не имеет ничего общего со специальной или общей теорией относительности.

Большое спасибо, это намного проще, чем я думал.

Вы не можете вывести инвариантность линейного элемента, потому что это одно из предположений, на которых основана теория относительности (оба варианта). Когда ты говоришь:

Я понимаю, как вывести пространственно-временной интервал, инвариантный для пространства Минковского.

Я предполагаю, что вы имеете в виду, что вы можете показать, что преобразования Лоренца сохраняют линейный элемент. Однако большинство из нас считает, что инвариантность линейного элемента более фундаментальна, а затем выводят преобразования Лоренца из требования сохранения линейного элемента.

В общей теории относительности нет простого эквивалента преобразованиям Лоренца. Преобразования Лоренца — это преобразование координат, но очень простое, когда преобразование происходит между инерциальными системами отсчета в плоском пространстве-времени. Хотя мы широко используем преобразования координат в ОТО, они обычно гораздо более сложны, чем преобразования Лоренца.

Однако в ОТО, как и в СТО, неизменность линейного элемента:

г с 2 "=" г α β г Икс α г Икс β

всегда применяется, хотя метрика г α β вообще сложнее.

+1, потому что он хорошо отвечает на вопрос и потому что вам действительно нужен представитель
Спасибо за ответ, но я должен не согласиться с тем, что вы не можете вывести пространственно-временной интервал в специальной теории относительности. Из постулатов однородности пространства-времени, изотропии пространства и инвариантности скорости света тривиально вывести инвариантность пространственно-временного интервала в специальной теории относительности, как это сделано на стр. 4 классической теории поля Ландау. Нет необходимости вводить преобразования Лоренца, чтобы показать его инвариантность.
@ Джек: снова я бы посмотрел на это с другой стороны. Исходя из инвариантности линейного элемента, легко показать, что скорость света постоянна для всех наблюдателей. Это просто зависит от того, какие величины вы считаете фундаментальными и какие величины являются производными. Я считаю, что инвариантность линейного элемента является наиболее фундаментальным принципом теории относительности (обоих разновидностей).
Вы, конечно, совершенно правы, хотя гораздо чаще считают инвариантность скорости света фундаментальным постулатом специальной теории относительности, чем линейный элемент (и исторически именно так была впервые получена специальная теория относительности).
@ Джек: я знаю довольно много людей, работающих в области теории относительности, и все они считают инвариантность линейного элемента более фундаментальной. В учебниках для бакалавров этого нет, что я считаю глупым, потому что это облегчает понимание SR. Я с уверенностью предсказываю, что если вы защитите докторскую диссертацию по теории относительности, вы в конечном итоге согласитесь со мной :-)
Что более фундаментально... это зависит от того, теоретик вы или экспериментатор. :)
Будучи аспирантом в области физики элементарных частиц, у меня есть довольно много выпускных книг по КТП, в которых довольно много говорится об относительности, и все они, насколько я помню, рассматривают инвариантность скорости света как фундаментальный постулат. Возможно, вы правы в том, что доктора наук, занимающиеся исключительно теорией относительности, могут считать линейный элемент более фундаментальным, но думать иначе — не только студенческая жизнь. Исторически линейный элемент был получен Эйнштейном из рассмотрения инвариантности скорости света как фундаментального постулата, а не наоборот.
@Jack: Это для вас КТП :-) А если серьезно, координатная скорость света непостоянна в ОТО, так что же это вам даст, если вы возьмете постоянство скорости света за отправную точку? В КТП это не имеет значения, поскольку обычно вы имеете дело только с плоским пространством-временем. Но я не говорю, что вы ошибаетесь - это просто выбор того, с чего начать.
Что ж, в аналогичном замечании, поскольку в специальной теории относительности вы можете вывести некоторые из наиболее часто используемых постулатов, рассматривая вместо этого инвариантность линейного элемента как фундаментальный постулат, можете ли вы показать, что такие вещи, как принцип эквивалентности, верны только в предположении инвариантности элемент общей релятивистской линии?
@Jack: Принцип эквивалентности - это причина, по которой вы вообще можете описать гравитацию как метрическую теорию. Я предполагаю, что если взять метрику за отправную точку, то подразумевается принцип эквивалентности, но я бы не сказал, что это вывод. Я полагаю, что большинство из нас сочло бы принцип эквивалентности эквивалентным утверждению, что гравитация является метрической теорией. Если вы хотите обсудить это, нам действительно следует продолжить обсуждение в чате, а не загромождать основной сайт.
В классической теории поля Ландау на первых нескольких страницах он доказывает/устанавливает равенство г с 2 "=" г с ′ 2 для любого значения г с 2 используя постулат о том, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета. @ДжонРенни
@SRS, это вопрос перспективы. Если исходить из предположения, что г с 2 является инвариантом, то автоматически следует постоянство скорости света. Итак, что подразумевает, что именно вы считаете более фундаментальным.
Ландау принимает «постоянство скорости света в вакууме» как один из физических постулатов и из этого выводит инвариантность г с 2 , в общем. При этом он даже не говорит о преобразованиях Лоренца. Я задавался вопросом, существует ли такой физический постулат, который обеспечивает инвариантность г с 2 в ГР. Это побудило меня задать этот вопрос physics.stackexchange.com/questions/602384/… @JohnRennie

Пространственно-временной интервал — это концепция пространства-времени Минковского. Он также появляется в общей теории относительности в своей бесконечно малой форме. г с , поскольку принципы специальной теории относительности применяются локально в искривленном пространстве-времени общей теории относительности. В общей теории относительности расстояния между двумя точками в искривленном пространстве-времени описываются геодезическими или интегралом по путям. г с .

Как показать, что пространственно-временной интервал инвариантен в целом?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v