Теорема Биркгофа в общем виде (r2→e2γ(r)r2→e2γ(r)r^2 \rightarrow e^{2\gamma(r)})

Я пытаюсь доказать теорему Биркгофа в общем виде.

Теорема Биркгофа утверждает, что каждое сферически-симметричное вакуумное решение уравнения поля Эйнштейна является решением Шварцшильда. (т. е. говорится, что сферически-симметричные вакуумные решения допускают статические, асимптотически плоские)

Сначала я знаю из классического учебника Кэрролла

$$\begin{align} ds^2 = - e^{2\alpha(t,r)} dt^2 + e^{2\beta(t,r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2 \end{align}$$ и вычисление тензоров Риччи, т.е.$R_{01}=0$ $\beta(t,r) = \beta(r)$а другие комбинации дают$\alpha = -\beta$.

Я думаю$r^2$члены также могут быть обобщены на некоторые функции, поэтому я попробовал следующую метрическую форму

$$\begin{align} ds^2 = - e^{2\alpha(t,r)} dt^2 + e^{2\beta(t,r)} dr^2 + e^{2\gamma(r,t)} d\Omega^2 \end{align}$$ но ситуация не та. Для этого случая $$\begin{align} R_{tr} = 2 \gamma' (\dot{\beta} - \dot{\gamma}) + 2 \alpha' \dot{\gamma} - 2 \dot{\gamma}' \end{align}$$ где штрих означает производную по r, а точка означает производную по времени. Из-за временной зависимости$\gamma$, из этого мы не можем вынести$\beta(r,t) = \beta(r)$больше.

Я предполагаю, что зависимость «t» от угловой части проблематична, поэтому моя следующая метрическая форма

$$\begin{align} ds^2 = - e^{2\alpha(t,r)} dt^2 + e^{2\beta(t,r)} dr^2 + e^{2\gamma(r)} d\Omega^2 \end{align}$$ и вычислить соответствующие тензоры Риччи. [Эта метрика кажется хорошей, потому что это не что иное, как изотропная форма учебника Кэрролла]

$$\begin{align} &R_{tt} = e^{2(\alpha-\beta)} \left( 2\gamma' \alpha' + (\alpha')^2 - \alpha' \beta' + \alpha'' \right) + \dot{\alpha} \dot{\beta} - (\dot{\beta})^2 -\ddot{\beta} \\ &R_{tr}= 2 \gamma' \dot{\beta} \\ & R_{rr} = - 2 (\gamma')^2 - 2 \gamma'' + 2 \gamma' \beta' + (- (\alpha')^2 + \alpha' \beta' - \alpha'') + e^{2(\beta - \alpha)} ( -\dot{\alpha} \dot{\beta} + (\dot{\beta})^2 + \ddot{\beta}) \\ & R_{\theta \theta} = 1 - e^{2(\gamma-\beta)} \left( - 2 (\gamma')^2 - \gamma'' - \gamma'(\alpha' - \beta') \right) \\ & R_{\varphi \varphi} = \sin^2(\theta) R_{\theta \theta} \end{align}$$

Один тривиальный результат$R_{tr}=0$является$\beta(t,r) = \beta(r)$. Так что я был счастлив

От$R_{tt}=0$у нас есть

$$\begin{align} 2\gamma' \alpha' + (\alpha')^2 - \alpha'\beta' + \alpha'' =0 \end{align}$$ И из $$\begin{align} 0= e^{2(\beta-\alpha)} R_{tt} + R_{rr} = - 2(\gamma')^2 - 2 \gamma'' + 2 \gamma' (\alpha'+\beta') \end{align}$$ и из$R_{\theta \theta}=0$, $$\begin{align} e^{2(\beta-\gamma)} = - 2 (\gamma')^2 - \gamma'' - \gamma'(\alpha' - \beta') \end{align}$$

Конечно я знаю$e^{2\gamma} =r^2$является одним из решений для$\gamma$и в таком случае снижает метрику Шварцшильда, но меня беспокоит, что$e^{2\gamma} = r^2$это уникальное решение для$\gamma$.

На этом уровне, кажется, нет способов определить$e^{2\gamma} =r^2$из уравнений. Кто-нибудь может прокомментировать это$e^{2\gamma}$настраивать?