Головоломка: относительное движение двух точек на вращающемся диске.

Если я правильно понял ваш вопрос, вы говорите, что:

$$v = r\omega$$

и поэтому:

$$\begin{align} v_A &= r\omega \\ v_B &= \tfrac{1}{2}r\omega \\ v_A &= 2v_B \end{align}$$

но как можно$A$и$B$имеют разные скорости, когда они оба прикреплены к диску, поэтому расстояние между ними фиксировано?

Ответ в том, что$A$и$B$имеют разные ускорения, так как ускорение определяется выражением:

$$a = r\omega^2$$

$A$и$B$действительно имеют разные скорости, но$A$разгоняется в два раза быстрее, чем$B$делает, и это поддерживает постоянную величину (а не направление) разделения.

Да,$B$вращается, если смотреть из статической системы координат вне диска :

О скоростях и ускорениях см. статью в Википедии . Он говорит,

$$\vec {v_s} = \vec {v_r} + \vec {\Omega} \times \vec r,$$

где$v_s$- скорость в статической системе отсчета и$v_r$во вращающемся. Если применить эту формулу для обеих точек$A$и$B$, их скорости в статической системе отсчета равны нулю, st они покоятся друг относительно друга. Но если вычесть формулу для$A$из формулы для$B$, вы обнаружите, что в статической системе отсчета они имеют относительную скорость из-за члена с$\vec {\Omega}$.

Вращающаяся система отсчета является ускоренной системой отсчета, поэтому$A$и$B$покоятся в ускоренной системе отсчета.

Предположим, что инерциальная система отсчета$S_0$и еще одна система отсчета$S$, имеющих общее начало и вращающихся относительно$S_0$. Пусть (постоянный) вектор угловой скорости$S$быть$\mathbf \Omega$.

Тогда скорость изменения вектора$\mathbf Q$в инерциальной системе отсчета определяется выражением

$$\left(\frac{d\mathbf Q}{dt} \right)_{S_0} = \left(\frac{d\mathbf Q}{dt} \right)_S + \mathbf \Omega \times \mathbf Q$$

Для вашей проблемы предположим, что диск находится в$xy$самолет и$\mathbf \Omega$находится вдоль$z$ось

$$\mathbf \Omega = \omega \hat{\mathbf z}$$

Позволять$\mathbf r_{BA}$быть вектором разделения между$B$и$A$. С$\mathbf r_{BA}$находится в$xy$плоской и радиально направленной, следует, что

$$\mathbf \Omega \times \mathbf r_{BA} = \omega\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi}$$

В инерциальной системе отсчета вектор разделения постоянен по величине и радиально направлен таким образом

$$\left(\frac{d\mathbf r_{BA}}{dt} \right)_{S_0} = \dot \phi\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi} = \omega\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi}$$

Итак, во вращающейся системе отсчета

$$\left(\frac{d\mathbf r_{BA}}{dt} \right)_S = \left(\frac{d\mathbf r_{BA}}{dt} \right)_{S_0} - \mathbf \Omega \times \mathbf r_{BA} = \omega\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi} - \omega\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi} = 0$$

В инерциальной системе отсчета вектор разделения изменяется со временем, т. е.$B$и$A$имеют относительную скорость, но в ускоренной системе отсчета их вектор разделения постоянен.

Однако, как видно из A , B остается на фиксированном расстоянии и также не вращается (относительная угловая скорость равна нулю).

Но он вращается, если ваша система отсчета не вращается, а просто центрируется на интересующей вас точке. Если вы хотите рассмотреть вращающуюся систему отсчета, то все точки (прикрепленные к диску или к системе отсчета) очевидно и по определению стационарны внутри нее, и между ними нет «относительного движения» в такой системе отсчета. .